D4_3有理函数积分.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 复 习 1. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (代换: ) 第二类换元法常见类型: 令 或 令 令 5) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 2. 分部积分法 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 排前者取为 u , 排后者取为 例2. 求 解: 令 则 得递推公式 说明: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 第四节 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ; 一、 有理函数的积分 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 注: 将有理函数化为部分分式之和后，只 出现三类情况： 多项式； 四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 例3 令 则 记 后两类积分的计算: 这四类积分均可积出,且原函数都是初等函数. 结论: 有理函数的原函数都是初等函数. 将有理真分式函数 分解为部分分式的步骤: 第一步: 将 在实数系内作标准分解: 第二步: 根据上述分解式的各个因子,写出对应的部分分式. 对应 的部分分式为: 对应 的部分分式为: 第三步: 通过比较同次项的系数,或代入特殊值的方式, 确定以上待定系数. 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 (2) 用赋值法 故 (3) 混合法 原式 = 例2. 求 解: 已知 例1(3) 例1(3) 例3. 求 解: 原式 思考: 如何求 提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20 . 例4. 求 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 二 、可化为有理函数的积分举例 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 例5. 求 解: 令 则 例6. 求 解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 2. 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 例7. 求 解: 令 则 原式 例8. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 例9. 求 解: 令 则 原式 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , 作 业 P218: 3, 6, 9, 15, 22. 第五节 * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程.