4.5有理函数的积分.pdf
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有理函数的积分.ppt
关于有理函数的积分第1页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分第2页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.第3页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第4页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第5页，讲稿共38页，2023
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有理函数积分等.ppt
运行时,点击按钮“例1(3)”,可显示被积函数化为部分分式的过程.运行时,点击“本题按常规方法解很繁”,或按钮“常规”,将显示常规方法接替步骤,并自动返回.§4.3内容回顾分部积分公式1.使用原则:易凑出,易积分2.使用经验:“反对幂指弦”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.补充多次分部积分的快速计算法:(u是保留部分,v是凑得部分)多次分部积分快速计算表格:特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.注:是的原函数例11.求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例12.求解:令则=(前面已讲过)备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则1.(先换元,再分部)方法2令
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D有理函数积分.ppt
第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 四种典型部分分式的积分: 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 二 、可化为有理函数的积分举例 例7. 求 例8. 求 2. 简单无理函数的积分 例11. 求 例12. 求 内容小结 练习 * 直接积分法; 换元积分法; 分部积分法 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 除法 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 解: (1) 用拼凑法 故 -5, 6 原式
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有理函数积分(改).ppt
微积分--有理函数积分 上 课 作业： P172 5(2)(4)(5)(7) 下 课 * 微积分--有理函数积分 凑微分法(第一换元) 第二换元 积分法 分部积分法 规律:被积函数仅含对数或反三角函数, 复习: 直接积分法 复合函数微分法 两类换元积分法 函数乘积微分法 分部积分法 直接用公式; 被积 函数为两类不同函数之积, u的选择: “三多选多”; “指多 选多”; “代对选对”; “代反选反”; “指弦任选”(积分重现). 例 假分式化为整式与真分式之和 真分式化为最简分式之和 今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法. 两个多项式的商表示的函数.
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有理函数的积分.ppt
类型解决方法作代换去掉根号.通常先将配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算.2、简单无理函数的积分简单无理函数的积分无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.解例4解例5设?即x?u3?2?则于是dx?6t5dt?解例6设x?t6?从而高等数学四④*/30第四节有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三、小结思考题基本积分法:换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.有理函数的定义：1有理函数：两个多项式的商表示的函数，即
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§4.4_有理函数的积分.ppt
* 由三角学知识 可通过变换 事实上,由 万能公式代换 则 表示. 化为有理函数的积分. u的有理函数 例 求积分 解 由万能置换公式 * 例 求 解 法一 回代 * 法二 不用万能代换公式 比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 结论 如 若用万能代换，则 化部分分式比较困难 但若是凑微分，则比较简单 * (1) 尽量使分母简单. 基本思路 或分子分母同乘以某个 因子, 把分母化为 的单项式, 或将分母整个看成一项. (2) 尽量使 的幂降低. 用倍角公式或积化和差公式以达目的. 为此常利 *
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D5_4有理函数积分.ppt
备用题 1. 求不定积分 解： 令 则 , 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高, 宜使用倒代换. * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. * 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接替步骤, 并自动返回. §4. 6 基本积分法 : 分项积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 6. 1 有理函数的积分 4. 6. 2 可化为有理函数的积分 有理函数的积分 第4章 分解 4
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《有理函数的积分》课件 .ppt
有理函数的积分;课程目标;课程大纲;什么是有理函数？;有理函数的分类;真分式与假分式;假分式的处理;部分分式分解法概述;部分分式分解的基本步骤;分母的因式分解;一次因式的部分分式形式;二次因式的部分分式形式;重因式的部分分式形式;待定系数法;待定系数法示例;留数法简介;有理函数积分的基本类型;类型1：∫(1/(x-a))dx;类型2：∫(1/(x2+px+q))dx;类型3：∫(x/(x2+px+q))dx;重因式的积分;有理函数积分的一般步骤;示例1：简单有理函数积分;示例1解析;示例2：含重因式的有理函数积分;示例2解析（1）;示例2解析（2）;示例2解析（3）;示例2解析（4）;可化为有
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有理函数积分较繁的.ppt
练习 计算下面的不定积分： 答案 到目前为止，我们学习了积分的四种基本方法：①直接 积分法；②第一换元法(凑微分法)；③第二换元法；④分部 积分法。至于一个具体的积分应使用哪种方法，没有统一的 原则。对于比较陌生的函数的积分(即很难一眼就确定用哪种 方法时)，可考虑以顺序①→ ② → ④ → ③进行试探。实际 上，具体解题不必在乎①与②之间的区别，该用③还是④基 本上是明确的。解题时应灵活应用。 另外，可以证明，连续函数都有原函数。但并非每个连 续函数都能积出。例如对积分 由于积分没有乘积运算和复合运算的公式可用，对一般 函数的积分，不能像求导
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四章节有理函数积分.pptx
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2有理函数：一、有理函数的积分
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4（1）分母中若有因式，则分解后为真分式化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为
5（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为
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8例2
9代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例3
10例4整理得
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12例6求积分解
13例7求积分解
14例8求积分解令
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17例10.求解:原式
18二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数
19问题：如何积分
20例1.求解:因被积函数关于cosx为奇函数,故令原式
21例2.求解:原式
22例3.求解法1.令原式
23例3.求解法2.令原
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高数有理函数积分.pptx
第四节基本积分法:换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章直接积分法;
一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式，则分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为
注:将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；
四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分例3
令则记后两类积分的计算:
这四类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论:有理函数的原函数都是初等函数.
将有
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D4_3有理函数积分.ppt
目录 上页 下页 返回 结束 复 习 1. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (代换: ) 第二类换元法常见类型: 令 或 令 令 5) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 2. 分部积分法 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 排前者取为 u , 排后者取为 例2. 求 解: 令 则 得递推公式 说明: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 第四节 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积
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四章有理函数积分.pdf
第四章：有理函数的积分
13:53
分区快速笔记的第1页
分区快速笔记的第2页
分区快速笔记的第3页
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4.4有理函数和可化为有理函数的积分教程.ppt
基本积分法: 直接积分法;
换元积分法;
分部积分法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.4.1 有理函数的积分
4.4.2 可化为有理函数的积分
4.4 有理函数和可化为有理函数的积分
4.4.1 有理函数的积分
有理函数:
时,
为假分式;
时,
为真分式
有理函数
多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 有理函数的分解
例1 将下列真分式分解为部分分式:
解
机动 目录 上页 下页 返回 结束
确定部分分式系数的方法:
通分,去分母得
比较系数
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4.4有理函数和可化为有理函数的积分.ppt
基本积分法: 直接积分法; 换元积分法; 分部积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.1 有理函数的积分 4.4.2 可化为有理函数的积分 4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 4.4.1 有理函数的积分 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 有理函数的分解 例1 将下列真分式分解为部分分式: 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确定部分分式系数的方法: 通分,去分母得 比较