有理函数积分较繁的.ppt

练习 计算下面的不定积分： 答案 到目前为止，我们学习了积分的四种基本方法：①直接 积分法；②第一换元法(凑微分法)；③第二换元法；④分部 积分法。至于一个具体的积分应使用哪种方法，没有统一的 原则。对于比较陌生的函数的积分(即很难一眼就确定用哪种 方法时)，可考虑以顺序①→ ② → ④ → ③进行试探。实际 上，具体解题不必在乎①与②之间的区别，该用③还是④基 本上是明确的。解题时应灵活应用。 另外，可以证明，连续函数都有原函数。但并非每个连 续函数都能积出。例如对积分 由于积分没有乘积运算和复合运算的公式可用，对一般 函数的积分，不能像求导那样进行机械的计算，其技巧性很 强。 有一种函数，从理论上讲其积分可以通过一定的步骤计 算出来，它就是有理函数。 定义 由两个多项式相除而得到的函数 (其中a0b0≠0)称为有理函数。 由于很多积分最后都化为有理函数的积分，因此有理函 数的积分方法非常重要。 四、有理函数的积分 从理论上说，所有的有理函数都可以通过积分方法得到原 函数。 定理 有理函数的原函数一定是初等函数。 此定理的证明过程就是有理函数积分的计算过程。 答案 如 计算下面的不定积分： 总结 有理函数的积分步骤： ①如果是假分式化为多项式与真分式之和； ②对真分式的分母在实数域内分解因式； ③把真分式化为几个部分分式的和； ④对每个部分分式进行积分。 下面详细说明计算过程。为直观起见，在解释过程中选 择不定积分 通过对这个不定积分的计算来理解一般函数的求积分法(为了 不失一般性，选择这个积分复杂一些，实际的积分一般不会 这么复杂)。 ①如果是假分式化为多项式与真分式之和； 下面只需计算∫g(x)dx即可(对一般有理函数，如果是假分 式，总可以化为多项式与真分式之和)。 ②对真分式的分母在实数域内分解因式； 由代数基本定理，一元m次函数Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm 在实数域中总可以通过分解因式得到 注 这只是理论上的结果，真正的精确分解很困难，实际 计算时可通过求方程的近似解来粗略地分解因式；我们平常 的练习中，为求简单，通常x±1或x±2是其中一个因式，可 通过验证x±1或x±2是否其零值点先得到一个因式，然后继 续分解。 例如，x6-2x3+1=(x-1)2(x2+x+1) 。 ③把真分式化为几个分式的和； 下面的工作是把真分式化为几个“最简单分式”的和， 这样的最简分式称为原分式的部分分式。 分解时，先根据分母分解因式的结果，把所有部分分式 的形式确定下来，这些部分分式里面含有待定系数。再通分 求出系数。 由于多项式在实数域里的因式分解结果中每一项的次数都 不超过2。对一个真分式，分解以后得到的“最简”部分分式的 可能形式有： 然后去分母，求系数A、B、C、D、E、F。 可设 一般地，若原分式分母中含有因子(x-a)k，则分解后的部 分分式中会含有 若原分式分母中含有因子(x2+px+q)l，则分解后的部分分式 中会含有 对原分式分母中的每一个因子都写出对应的等式，其中含 有待定系数。为求待定系数，先去分母，去括号比较同幂项系 数或代入特殊值。 可得 A=1，B=2，C=-1，D=-1，E=1，F=-2。 这时可得到 ④对每个部分分式进行积分。 最后对每个部分分式进行积分。 用第一换元法可得： 部分分式只可能是下列形式之一： 当n很小时，可用第二换元法，令u=atant 。 当三角变换无法计算时，可以先写成两个积分之和: 其中第一个积分可由凑微分法得到 第二个积分有递推公式： 对我们所举的例子，最后得到： 练习 具体计算时，一般分母上不会同时出现四种形式。要根据 具体情况灵活积分。 答案 注 这只是为了理论上的完备而给出的步骤，对于具体 的积分题目，应尽量选择简便快捷的方法。 可作变换t=x-1 。 可以用倒变换。 * * 点击倒数第二行中的式子可跳转到相应例子的那一页； 点击最后一行可跳转到此公式的推理过程。