2025年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第2课时导数与不等式恒(能)成立.pptx

;第三讲导数的综合应用

第二课时导数与不等式恒(能)成立;名师讲坛·素养提升;考点突破·互动探究;分离参数法;[解析](1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．

即f′(x)＝xex＋ex－4，

则f′(0)＝－3，f(0)＝2，

所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.;名师点拨：分离参数法解决恒成立问题的策略

1．分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

2．a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.;【变式训练】

已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx，若f(x)≥(a2－a)lnx对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．;等价转化法;名师点拨：“等价转化法”解决不等式恒成立问题

在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)0或f(x，a)≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．

(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)0恒成立?g(a)0，f(x，a)≥0恒成立?g(a)≥0.

(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)0恒成立?g(a)0，f(x，a)≤0恒成立?g(a)≤0.;【变式训练】;双变量的恒(能)成立问题;名师点拨：

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有：

(1)?x1，x2∈D，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)max.

(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)min.

(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)g(x2)?f(x)maxg(x)max.;【变式训练】;名师讲坛·素养提升;洛必达法则;已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围．

[解析]解法一：令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x0)，

则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.

∵x0，∴ln(x＋1)0.

①当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)0，

∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又φ(0)＝0，∴φ(x)0恒成立，故a≤1满足题意．;②当1－a0，即a1时，

令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，

∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)0；

x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)0，

∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递??，

在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(ea－1－1)φ(0)＝0与φ(x)0恒成立矛盾，故a1不满足题意．

综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．;解法二：当x∈(0，＋∞)时，

(x＋1)ln(x＋1)ax恒成立，;【变式训练】

已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；

(2)当x0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．;(2)解法一：当x0时，f(x)≥0，

即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，

令φ(x)＝ex－1－ax(x0)，则φ(x)min≥0，

φ′(x)＝ex－a.

①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a0，

∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．;②当a1时，若0xlna，则φ′(x)0，

若xlna，则φ′(x)0.

∴φ(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(lna)＝a－1－alna≥0.

令g(a)＝a－1－alna(a1)，

∴g′(a)＝1－(1＋lna)＝－lna0，

∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．

∴g(a)g(1)＝0与g(a)≥0矛盾，

故a1不满足条件，

综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．