2025年高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积.pptx

;第三讲平面向量的数量积;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一向量的夹角

a与b的夹角为____时，则a与b垂直，记作a⊥b.;知识点二平面向量的数量积

1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_______________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.;投影;知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示

1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝____________.;(5)已知两非零向量a与b，a⊥b?a·b＝0?____________________；a∥b?a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．

(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)

2．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．;归纳拓展

1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.

2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．

3．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

4．两向量a与b的夹角为锐角?a·b0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角?a·b0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向?a·b＝|a||b|；a、b反向?a·b＝－|a||b|.;5．投影向量的表示：;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(2)a·b0，则a与b的夹角为锐角；a·b0，则a与b的夹角为钝角.()

(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()

(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()

(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()

[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×;题组二走进教材

2．(必修2P36T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()

A．6 B．5

C．1 D．－6

[答案]A

[解析]由题意知2a＋b＝(3，0)，∴(2a＋b)·a＝(3，0)·(2，－1)＝6，故选A．;[答案]C;[答案]B;解法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则E(1，2)，C(2，0)，D(0，0)，;5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝()

A．－2 B．－1

C．1 D．2

[答案]D

[解析]因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D．;考点突破·互动探究;平面向量数量积的运算——师生共研;A．10 B．13

C．18 D．26

[答案]B;3．(2024·山东潍坊三模)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－2)，c＝(1，λ)，若c·(2a＋b)＝0，则实数λ＝________.

[答案]－3

[解析]2a＋b＝(2，4)＋(4，－2)＝(6，2)，c·(2a＋b)＝(1，λ)·(6，2)＝6＋2λ＝0，解得λ＝－3.;名师点拨：向量数量积的四种计算方法

1．当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.

2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

3．转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．

4．坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积．;【变式训练】

1．(2024·黑龙江二模)已知向量a＝(1，m)，b＝(n，6)，若b＝3a，则a·b＝________.

[答案]15

[解析]∵b＝3a，即(n，6)＝(3，3m)，∴n＝3，m＝2，∴a＝(1，2)，b＝(3，6)，∴a·b＝1×3＋2×6＝15.;[答案]A;向量的模、夹角——多维探究;[答案]B;名师点拨：平面向量的模的解题方法

2．若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”;角度2向量的夹角

1．(2025·河北石家庄质检)已知平面向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|