南邮数理方程1定解问题.ppt

二维热传导方程 ―维热传导方程 三维热传导方程 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 u 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程. 三、恒定场方程 所谓的恒定场就是场量不随时间变化，而只与空间变量有关系(u(x,y,z))。 问题1：静电场 静电场表明电场强度 与时间无关，那么麦克斯韦方程组 泊松方程 拉普拉斯方程 泊松方程 拉普拉斯方程 根据静电场中电场E与电位u的关系： 根据矢量运算： 三类基本方程在直角坐标系中的表示 一、 波动方程 二、热传导方程 三、拉普拉斯方程 1.3、定解条件 定解条件 初始条件 边界条件 衔接条件 1、初始条件：说明某一具体物理现象初始状态的条件。 对输运方程(扩散、热传导)，初始状态是指所研究的物理量 的初始分布(比如初始浓度分布、初始温度分布)，因此初始条件为： 对波动方程 (弦、杆、传输线和电磁波)，不仅需要给出初始“位移”，还要给出初始“速度”。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环 境和历史，即个性。 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。 恒定场方程（拉普拉斯方程）没有初始条件 例： 一根长为 ，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动，如图所示。此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。 初始速度和初始位移分别为: 0 = x l x = 2 l x = h x u 注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始条件，只含边界条件条件！ 2、边界条件 边界条件：研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围 环境的影响常体现为边界上的物理状况。（可分为三类）： 第一类边界条件(Dirichlet 问题）：直接规定了所研究的物理量在 边界上的数值 (2) 细杆导热问题边界条件：杆的一端点 的温度 按已知的规律 变化，则该 端点的边界条件为 ： (1) 弦振动问题的边界条件：弦的两端 和 则边界条件分别为： 固定 (3) 恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面 ，边界上的物理状况为 和 第二类边界条件（Neumann问题）: 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上导数的数值 纵振动的杆问题：杆的某个端点 受有沿端点外法线方向的外力 根据胡 克定律，该端点的张应力与外力的关系为 : (2) 细杆导热问题：若杆的某个端点 有热流 沿该端点 外法线方向流出，根据热传导定律，则边界条件为： 若热流f(t)是流入，则边界条件为: 若端点绝热，则 ： 第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上 的数值。 H为常系数。 (1) 细杆导热问题： 杆的某端点 自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律 交换热量，单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量 跟物体表面和外面的温差 成正比。 端，外法 向n就是x方向，而在 端，外法向n 就是-x方向， 则自由冷却条件分别表示为： H为杆端与周围介质的热交换系数,对杆的两端都是自由冷却，那么在 (2) 弦的振动（端点弹性连结） 弹性力 张力 设弹性支承原来的位置为u=0，则 表示弹性支承 的应变。 根据胡克定律，此时弦在x=a处沿位移方向的张力 应与弹 力相等。 初始条件和边界条件统称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 定解问题的适定性 : 解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。 3、定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题 长为 的细弦两端固定，开始时弦上各点处于平衡位置， 在 处受到冲量 的作用 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 若 一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 例1：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型： 恒定场问题（恒定温度场，恒定电磁场，恒定浓度场） 例2、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不 计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给 出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。