第1章数学物理方程定解问题.ppt

* 数学物理方程 定解问题 主要内容 三类数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类（自学） （一）梯度矢量 令 三类数学物理方程的导出 有时记 记 （二）三类数学物理方程的导出 1 弦的横振动 x x+?x x u 弦的横向位移为 u(x,t) 考虑小振动 x x+?x x u 记 x x+?x x u 例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上， 绳子以角速度?转动，试推导此绳相对于水平线的横 振动方程 x x+?x x u 弦的横向位移为 u(x,t) x u ? l x x+?x 整理得： x=l 端自由 2 均匀杆的纵振动 将细杆分成许多段 t时刻，A段伸长 t时刻，B段伸长 相对伸长 事实上，相对伸长是位置的函数，如 相对伸长 由胡克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为 B段运动方程为 B段运动方程为 记 3 扩散方程 由于浓度不同引起的分子运动 扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位横截面积的分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的下降成正比 D 为扩散系数 负号表扩散方向与浓度梯度相反 大小 x方向左表面，dt 时间流入六面体的流量为 流出六面体的流量为 x x+dx x方向左表面，单位时间流入六面体的流量为 单位时间流出六面体的流量为 净流入量为 x 方向净流入量为 y 方向净流入量为 z 方向净流入量为 立方体净流入量为 如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为 D=恒量， 令 a2=D 一维 若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与 u 无关 若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u 4 热传导方程 设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差， 其侧面绝热 u(x,t) 为 x 处 t 时刻温度，? 为杆密度 x x x+?x （1）dt 时间内引起小段?x温度升高所需热量为 x x x+?x （2）Fourier实验定理：单位 时间内流过单位横截面积的热量 q (热流强度量）与温度的下降成正比 n n k 为热传导系数 一维情况下如图有 大小 x方向左表面，dt 时间流入圆柱体的热量为 dt 时间流出圆柱体的热量为 x x x+?x dt 时间净流入的热量为 5 泊松方程 电通量的高斯定理 称为泊松方程 称为泊松方程 称为 Laplace 方程 对于 稳定浓度分布有 为泊松方程 为 Laplace 方程 6 稳定浓度分布 和 若 若 定解条件 输运方程 （一）初始条件 初始条件要求已知 弦振动方程 初始条件要求已知 位移满足 速度满足 x=l / 2 x u x=l h x 0 位移满足 速度满足 （二）边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 如两端固定弦,端点位移 x=l / 2 x y x=l h x 0 （1）第一类边界条件 如细杆热传导端点温度 l 0 x （如扩散端点浓度） A）如细杆的纵振动，x=a 处受力 f(t) （2）第二类边界条件 如杆端自由 f(t)=0 a 0 x