高等数学向量代数与空间几何习题课稿.ppt

再求直线和平面的交点 直线的参数方程为 代入平面方程，有 交点坐标 点到直线的距离为 例13 设 和 为异面直线 求它们之间的距离 解一 所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足 之间的距离。 由于公垂线与 都垂直 故其方向向量为 过 作平行于 的平面 则 到平面 的距离就是所求的 异面直线间的距离 由于 为 的法向量 的方程为 公垂线长等于以 为棱的平行六面 体的高 记 记 则 到 的距离 解二 设两垂足的坐标分别为 解出 求得垂足，得 公垂线方程和公垂线长 ——异面直线间的距离 例14 过点 作一直线，使和 z 轴相交，且 和直线 垂直，求其方程 [分析] 求直线方程，或者求出直线所在的平面 得交面式方程，或者求出直线上一点及 方向向量得点向式方程，或者求出直线 上的两点得两点式方程 解一 用交面式 直线 过点 B 且与 L 垂直 故直线 在过 B 且与 L 垂直的平面 内 o x y z B 即 又 过B且与z 轴相交 故 在由B 及z 轴所组成的平面 内 即 所求直线方程为 解二 用点向式 已知 过B，故只须求出其方向向量 而 故 又 过 B 且与z 轴相交， 即 在由B及z 轴所组成的平面内 亦即 共面 所求直线方程为 解三 用两点式 已知 过B，故只须求出第二个点 又 与轴相交，可设法求出这个交点 过B作平面 ，使 得 即 求出 z 轴与 的交点 将 代入，有 交点为 而 在 上又和 z 轴相交， 现 与 z 轴只有唯一的交点 o x y z B 故 即为 与 z 轴的交点 即 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 习题课 一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积 数量积 混合积 向量的积 向量概念 （一）向量代数 1、向量的概念 向量的模、 单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径. 2、向量的线性运算 加、减、数乘 3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标： 模、方向余弦的坐标表示式 4、数量积、向量积、混合积 各种积的坐标表达式 两向量平行、垂直的条件 直 线 曲面 曲线 平 面 参数方程 旋转曲面 柱 面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程 空间直角坐标系 （二）空间解析几何 1、空间直角坐标系 2、曲面 旋转曲面、 柱面、 二次曲面 3、空间曲线 4、平面 5、空间直线 线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离 两直线共面的条件 共面 6、平面束 二、典型例题 例1 解 由题设条件得 解得 例2 设 的三边 三边中点分别为 D、E、F 试用 表示 并证明 证 A B C D E F 例3 已知 证明① ② 证 ① A D C B 而 ② 因 令 得唯一驻点 而 时 面积最大 例4 设 求 解 由题设知 两式相减得 代入前式有 故 例5 已知向量 求与 同时垂直，且在 上投影为 1 的向量 解 由于 同时垂直于 而 故可设 而 故 故，所求向量为 例6 解 过已知直线的平面束方程为 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 例7 解 将两已知直线方程化为参数方程为 即有 例8 求过点 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程 解 设所求直线的方向数为 则直线方程为 化成参数方程，有 代入已知直线方程，得 又所求直线与已知平面平行 （两边同乘以 ） 解得 直线方程为 例9 解 所求投影直线方程为 例10 求直线 在三个坐标面及平面 上的投影 解 分别令参数方程中的 x , y , z 为 0 即可得 直线在三个坐标面上的投影方程 过直线作一平面与已知平面垂直 直线的方向向量 已知平面的法向量 即为所求平面的法向量 又点 在所求平面上 故所求平面的方程为 即 已知直线在所给平面上的投影直线的方程为 例11 解 由于高度不变, 故所求旋转曲面方程为 例12 求点 到直线 的距离 解一 如图所示 所求点到直线的距离 等于平行四边形的高 由向量积的几何意