北京航空航天大学数值分析考研真题.doc

北京航空航天大学2005年博士研究生入学 数值分析考试试题 一、选择题（每题1分） 1．某数值方法算得的值为，则具有( )位有效数字 A. 1 　B. 2 　　C. 4 D.5 2．函数与在区间上（　） A. 线性相关 B. 线性无关但不正交 C. 正交但非标准正交 D. 标准正交 3．用Euler折线法解初值问题，取步长，算得( ) A. B. C. D. 4．设，则的用范数定义的条件数（　） A. B. C. D. 5．用迭代法解方程，若可导且，则当满足（　）时，该迭代过程一定收敛 A. B. C. D. 二、填空题（每空格1分） 1． 则 n 阶差商= 2．求次数不超过3次，且满足下列条件的插值多项式： x 0 1 2 3 f(x) 1 1 1 f’(x) 0 该插值多项式为 3．设 是[0,3] 上的三次样条函数，则 a= b= c= 三、计算证明题： 1．（10分） 数值积分公式形如： 确定求积公式中的系数 A、B、C、D 使其代数精度尽可能高。 2．（15分） 求解常微分方程初值问题　 的Runge-Kutta公式如下： 证明：对于任意参数，该方法的局部截断误差是； 对于常微分方程 用上述方法,取 迭代1步。 3．（15分） 带原点平移的QR方法为：从 出发，作 其中 为n阶矩阵，I 为n 阶单位阵，为n阶上三角阵，为n阶正交阵，的第n行n列的元素）为平移参数。 证明: 相似 若 , 用带原点平移的QR方法求A 的全部特征值 4．（15分） 设 求 f(x) 在 [1,2] 上的二次最佳平方逼近多项 式。并求均方误差。 5．（15分） 方程 解的迭代格式为 证明：对任意初值,上述迭代格式收敛。 求最小的n ,使得 对上述方程的解构造Newton 迭代格式，判断它对任意初值 是否也收敛。 6．（20 分） 设线性方程组 写出该方程组的Jacobi迭代法和SOR迭代法的计算公式； 确定为何值时 Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Siedel 迭代法收敛