拓扑学习题.doc

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集的内部是（A） A、； B、； C、； D、. 2、在实数空间中，有理数集的边界是（D ） A、； B、； C、； D、. 3、设是一个拓扑空间，是的子集，则下列关系正确的是（A） A、； B、； C、； D、. 4、设是一个拓扑空间，是的子集，则下列关系错误的是（C） A、； B、； C、； D、. 5、平庸空间的任一非空子集为（D） A、开集； B、闭集； C、既开又闭； D、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C） A、开集； B、闭集； C、既开又闭； D、非开非闭. 7、设，是的拓扑，则的子空间的拓扑为（B） A、； B、； C、； D、. 8、设，是的拓扑，则的子空间的拓扑为（B） A、； B、； C、； D、. 9、设是拓扑空间的积空间，是到的投射，则是（D） A、单射； B、连续的单射； C、满的连续闭映射； D、满的连续开映射. 10、设是实数空间， 是整数集，则的子空间的拓扑为（B） A、； B、P ； C、； D、. 11、有理数集是实数空间的一个（A） A、不连通子集； B、连通子集； C、开集； D、以上都不对. 12、整数集是实数空间的一个（A） A、不连通子集； B、连通子集； C、开集； D、以上都不对. 13、设是离散空间，则积空间是（C） A、离散空间； B、不一定是离散空间； C、平庸空间； D、不连通空间. 14、设是平庸空间，则积空间是（C） A、离散空间； B、不一定是离散空间； C、平庸空间； D、不连通空间. 15、实数空间中的连通子集为（D） A、开区间； B、闭区间； C、区间； D、以上都不对. 16、实数空间中的不少于两点连通子集为（A） A、开区间； B、闭区间； C、区间； D、以上都不对. 二、填空题. 1、同胚的拓扑空间所共有的性质叫（拓扑不变性质）. 2、设是有限补空间中的一个无限子集，则（）, （）. 3、的拓扑，则的子集的内部为（）. 4、设，则的平庸拓扑为（）. 5、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个（商映射）. 6、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的像集是中的一个开集，则称映射是一个（开映射）. 7、若拓扑空间存在两个非空的闭子集使得，则是一个（不连通空间）. 8、若任意≥1个拓扑空间都具有性质，且积空间也具有性质，则性质称为（有限可积性质）. 三、判断. 1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. （√） 2、设是集合的两个拓扑，则不一定是的拓扑. （×） 3、设为离散拓扑空间的任意子集，则. （√） 4、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间. （√） 四、证明题. 1、设是两个拓扑空间，是一个映射，则以下条件等价： （1）是一个连续映射； （2）中的任何一个闭集的原像是一个闭集； （3）对于中的任何一个子集，； （4）对于中的任何一个子集，. 2、设是两个拓扑空间，，则映射连续对于每一点，映射在点处连续. 3、设A是一个由非空集合构成的族，并且A中的元素两两不相交，则存在集合使得对每一个A，是一个单点集. 4、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射，则是的一个连通子集. 5、设是拓扑空间的一个连通子集，证明：如果和是的两个无交的闭集使得，则或者，或者. 6、设是拓扑空间的一个连通子集，证明：如果是的两个无交的开集使得，则或者，或者. 7、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集. 8、设是两个集合，又设是一个一一映射，则便是一个从到的一一映射，且有.