次函数y=ax+bx+c在给定区间上的最大(小)值问题.doc

案例：二次函数y=ax2+bx+c在给定区间上的最大（小）值问题 教学目的：①使学生通过对知识的运用加深对知识的理解与掌握。 　　②在问题解决的过程中渗透数形结合的思想方法和运动、变化的观点。 　　③引导学生挖掘知识的作用，提高运用知识分析问题和解决问题的能力。 重点难点：二次函数在闭区间上的最值的探求 教 具：多媒体 [教学背景] 函数的单调性是高中数学函数一章中一节相当重要的内容。因为研究一个函数的性质往往离不开它的单调性。而且利用函数的单调性，可以解决许多的问题，尤其是求函数在某区间上的最值问题。学生在初中阶段接触最多，而且他们觉得比较难以理解的函数便是二次函数。在初中阶段，学生熟记二次函数的最值计算公式，可以较快地求出二次函数在定义域R上的最大值或最小值。但是当函数的定义域改变之后，学生往往对此熟视无睹，不知道定义域发生变化之后对值域会带到什么样的变化。这说明学生对所背的公式并没有真正意义上的理解，从本质上讲是缺乏一种数形结合的思考问题的方法。为了培养学生的数形结合的解题意识，也为了学生更好地理解函数单调性的作用，我在上完函数的单调性之后，补充了这样一节探究性的课。一方面起到扩充知识的作用，提高学生对知识的应用意识；另一方面重在培养学生的探究意识，培养学生数形结合的思维方法。 ?案例? 一、复习函数单调性的概念 ①复述函数单调性的概念（学生完成） ②画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间[a、b]（ba）上单调的函数其图象变化的趋势。（分别画出在某一区间[a、b]上递增（减）的函数图象，指出图象的变化趋势） ③结合图象，请指出函数值变化的趋势，你能从中得到一些你认为有价值的结论吗？ 从图（1），f(x)在[a,b]上是增函数，则 。 从图（2），g(x)在[a,b]上是减函数，则 。 注：从图（1），f(x)在[a,b]上是增函数，则 f(a)f(b) 。 从图（2），g(x)在[a,b]上是减函数，则g(a)g(b) 。 注：从图（1）可知f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a); 从图（2）可知g(x)在区间[a,b]上的最大值为g(a),最小值为g(b) 所以，学习函数的单调性可以研究函数在某区间上的最大值和最小值。 设计意图：温故而知新。在复习旧知识的同时，引导学生思考并发现所学的知识函数单调性的意义和作用，提高学生的求知欲望和知识的应用意识。 二、复习二次函数y=ax2+bx+c在R上的最值 三、数学的应用 例1、求函数y=2x2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值。 分析：该问题表述的函数一定区间一定，引 导学生数形结合解决 解:函数y=2x2-3x+5的 对称轴x=在区间[-2 ,2 ]内且靠近区 间的右端点, 所以:当x=时函数有最小值 Ymin= 当x= -2时函数有最大值 Ymax=19 例2、求函数y= -x2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值。 分析：该问题表述的函数一定区间一定，引导学 生数形结合解决 解：函数y=-x2-4x+1的对称轴 x=-2在区间[ -1 ，3]的左侧。 因此：函数在[-1，3]上是单调减函数。 所以：当x=-1时函数取最大值4， 当x=3时取最小值-20 例3、求函数y=x2+t x (-1的最小值 解题分析：函数的解析式中含有参数t，而函数图象的对称轴是x= - t/2，对称轴相对于区间[ -1, 1]位置不定，因此应对t的不同取值进行讨论。 解: 函数y= x2 + tx 的对称轴是 x= - 当对称轴x= -在区间[ -1 , 1 ] 的左侧时, 则 - -1 即t 2时， 函数在区间[ -1 , 1 ]上是增 函数。 所以，当x= -1 时 y= 1 – t 当对称轴x= -在区间[ -1 , 1 ] 上时, 则 -1-1 即 -2 t2时， 所以，当x= - 时 y= - 当对称轴x= -在区间[ -1 , 1 ] 的右 侧时, 则 - 1 即t -2时， 函数在区间[ -1 , 1 ]上是减函数。 所以，当x= 1 时 y= 1 + t 求函数y=2x2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值 解题分析：题设所给的函数不变，但区间[t ,t+2]含有参数t，函数图象对称轴相对区间[t,t+2]位置不定，因此要对t的取值不同进行讨论。 （利用几何和画板展示各种变化.） 解：解: 函数y= 2x2 + x-1 的对称轴是 x= （1）当对称轴x= 在区间[ t , t+2 ] 的左侧时, 则 t 此时函数y= 2x2 +