学好微积分的几点建议.ppt

本讲内容 一、了 解 微 积 分 二、喜 欢 微 积 分 三、掌 握 微 积 分 一、了解微积分 一、了解微积分 (1) 研究工具: 研究连续模型的数学工具 二、喜欢微积分 一个有趣的例子： 有T和F两个相邻国家，T国的国民总说真话，而F国的国民总 说假话. 今有第三国的一位记者到了这两个国家之一，但不知身 处哪国？能否通过询问该国一位国民而判断出他在T国还是F国? 谢 谢 * 清华大学 谭 泽 光 的 几 点 建 议 学好《微积分》 1912, 04, 10 微积分的基本内容 研究函数的性质与表示 函数 函数的表示 函数的性质 非初等函数 初等函数 非初等性质 初等性质 函数的运算 (2) 思维“钙质”: 培育理性思的重要戴体 (3) 美育途径: 四大美育内容之一 定义两个命题函数： 说真话函数: 说假话函数: 复合函数: 十六字建议 重视概念 精做习题 多思勤问 总结提高 三、掌握微积分 1. 重视概念: 从正面掌握：背景、定义、性质、运算、应用; 从反面深入：反例 . 三、掌握微积分 例1 设f (x) 连续，且在0点的导数大于零, 则存在δ 0 使得 ( ). (A) f (x)在(0, δ)内单调增加 (B) f (x)在(-δ , 0)内单调减少 (C) 对任意x ? (0, δ) , f (x) f (0) (D) 对任意x ? (-δ , 0) , f (x) f (0) 三、掌握微积分 存在δ0, 使得对任意x ? (-δ, δ) , f (x) f (0) (C) 对任意x ? (0, δ) , f (x) f (0) 三、掌握微积分 点的局部性质与区间整体性质的差别 三、掌握微积分 点的局部性质与区间整体性质的差别 三、掌握微积分 例2 设f (x)二阶可导，0点是其极小点,且在0点任何 邻域中都不为常数，则存在δ 0 使得 ( ). (A) f (x)在(0, δ)内单调增加 (B) f (x)在(- δ, δ) 内是下凸的 (C) 对任意x ? (-δ, δ) , f (x) f (0) (D) 在0点f (x)的二阶导数为非负 三、掌握微积分 转化成研究函数的性质问题 例如， 求证不等式 (1) f (x)在(a, b)连续无零点 (2) f (x)在(a , b)增量分析 (4) 利用二阶导数，判断凸性 (3) f (x)在[a , b]最值问题 三、掌握微积分 反例，有助于对概念深入理解 如: 说明连续性是函数局部性的例子: 迪里希莱函数的多种变形 又如: 说明导函数性质的例子 三、掌握微积分 三、掌握微积分 2. 精做习题: 一定数量，独立做题，自检有底 抓住三点：考点、难点、着手点 尽量引伸：多解、特例 、条件和结论的变化 求极限、无穷小比阶、求阶是微积分中基本方法 . 例 （ C ） 解 三、掌握微积分 解法至少有三 . 例2 是等价无穷小，则（ A ） 当 时， 与 三、掌握微积分 例3 求极限 【解1】 【解2】 令 原式 原式 三、掌握微积分 三、掌握微积分 3. 多思勤问: 打破沙锅问到底 不达目标不罢休