正弦函数余弦函数的图象和性质(三).doc

课 题：4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（三） 教学目的： 1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3.掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法. 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinxx∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0) 余弦函数y=cosx x([0,2(]的五个点关键是 (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 5．周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 1(周期函数x(定义域M，则必有x+T(M, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界； 2(“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)(f (x0)） 3(T往往是多值的（如y=sinx 2(,4(,…,-2(,-4(,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 6．奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 二、讲解范例： 例1 求下列函数的周期： (1)y＝3cosx，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R； (3)y＝2sin(x－)，x∈R. 解：(1)∵y＝cosx的周期是2π ∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现. ∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π. (2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π. 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)． 只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现. ∴y＝sin2x的周期是π. (3)令Z＝x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数. 从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关. 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子： (1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0. (1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)． 解：(1)∵－＜－＜－＜． 且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数. ∴sin(－)＜sin(－) 即sin(－)－sin(－)＞0 (2)cos(－)＝cos＝cos cos(－)＝cos＝cos ∵0＜＜＜π 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数 ∴c