两角和与差的三角函数教师版.doc

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　1－2sin222.5°＝cos 45°＝. 2．(2013·北京西城月考)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　由已知得sin α＝－，∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－. 3．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　∵x∈，cos x＝.∴sin x＝－， ∴tan x＝－.∴tan 2x＝＝＝－. 4．(2014·银川模拟)已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ (　　)． A. B. C.和 D．－和－ 解析　由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝. 5．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　对于cos ＝cos＝ coscos＋sinsin， 而＋α∈，－∈， 因此sin＝，sin＝， 则cos＝×＋×＝. 答案　C 6．已知sin(π＋α)＝－，且α是第二象限角，那么sin 2α＝________. 解析　∵由题意知，sin α＝，且α是第二象限角， ∴cos α＝－， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－. 答案　－ 7．已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ的值为________． 解析　法一　∵tan＝3，∴＝3， 解得tan θ＝. ∵sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－－1 ＝－－1 ＝－－1＝－. 8．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 解析　∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－. 9．已知sin＝，且x∈，求. 解　∵x∈，∴＋x∈， ∴cos＝－， ∴tan＝－， ∴＝＝－. 10．(12分)(2011·四川)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β ≤， 求证：[f(β)]2－2＝0. (1)解　f(x)＝sin xcos＋cos xsin＋cos xcos＋sin xsin＝sin x－cos x＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝2π，最小值f(x)min＝－2. (2)证明　由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝， cos αcos β－sin αsin β＝－，两式相加得2cos αcos β＝0. ∵0＜α＜β≤， ∴cos β＝0，则β＝， ∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 11．(12分)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)． (1)证明　①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4. 则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))． 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得，cos＝sin α， sin＝cos α. sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)解　∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－. ∵β∈，tan β＝－， ∴cos β＝－，sin β＝. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝.