一两角和与差的三角函数.ppt

* 一、两角和与差的三角函数 二、二倍角公式 (升幂公式) (降次公式) sin(???)=sin?cos??cos?sin? cos(???)=cos?cos? sin?sin? - + tan(???)= tan??tan? 1 tan?tan? - + asin?+bcos?= a2+b2 sin(?+?) cos2?=cos2?-sin2? =2cos2?-1 =1-2sin2? sin2?=2sin?cos? tan2?= 2tan? 1-tan2? sin2?= 1-cos2? 2 cos2?= 1+cos2? 2 三、半角公式 四、万能公式 五、其它公式 sin3?=3sin?-4sin3?; cos3?=4cos3?-3cos?; sin(60?-?)?sin??sin(60?+?)= sin3?; 1 4 cos(60?-?)?cos??cos(60?+?)= cos3?. 1 4 sin =? 1-cos? 2 2 ? cos =? 1+cos? 2 2 ? tan =? 1-cos? 1+cos? 2 ? = sin? 1+cos? = 1-cos? sin? sin?= 2tan 2 ? 1+tan2 2 ? tan?= 2tan 2 ? 1-tan2 2 ? cos?= 1-tan2 2 ? 1+tan2 2 ? 公式选择 1.从函数的名称考虑 切割化弦(有时也可考虑“弦化切” ), 异名化同名(使函数的名称尽量统一); 2.从角的特点考虑 异角化同角, 抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等); 3.从变换的需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的; 4.尽量避开讨论 常用技巧与方法 1.变换常数项 将常数变换成三角函数; 2.变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一; 3.升幂或降次 运用倍、半角公式进行升幂或降次变换, 从而改变三角函数式的结构; 4.运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等. 三角函数式化简目标 1.项数尽可能少; 2.三角函数名称尽可能少; 3.角尽可能小和少; 4.次数尽可能低; 5.分母尽可能不含三角式; 6.尽可能不带根号; 7.能求出值的求出值. 典型例题 1.求 sin220o+cos250o+sin20ocos50o 的值. 思维精析 从幂入手, 用降幂公式. 解法1 原式= + + (sin70o-sin30o) 1+cos100o 2 1-cos40o 2 1 2 = -sin70osin30o+ sin70o 1 2 3 4 = . 3 4 思维精析 从形入手, 配成完全平方. = . 3 4 1 2 解法2 原式=(sin20o+ cos50o)2+ cos250o 3 4 1 2 =[sin(50o-30o)+ cos50o]2+ cos250o 3 4 =(sin50ocos30o)2+ cos250o 3 4 思维精析 从角入手, 化异角为同角. = . 3 4 解法3 原式=sin2(50o-30o)+cos250o+sin(50o-30o)cos50o =(sin50ocos30o-cos50osin30o)2+cos250o +(sin50ocos30o-cos50osin30o)cos50o = (sin250o+cos250o) 3 4 思维精析 从式入手, 构造对偶式. 解法4 设 x=sin220o+cos250o+sin20ocos50o, = . 3 4 思维精析 从三角形入手, 构造图形, 利用正余弦定理. 解法5 设 △ABC 外接圆半径为 1, A=20o, B=40o, y=cos220o+sin250o+cos20osin50o. 则 x+y=2+sin70o ①, x-y=-cos40o+cos100o-sin30o ②. x= (2+sin70o-cos40o+cos100o-sin30o) 1 2 = ( +sin70o-2sin70osin30o) 1 2 3 2 则 C=120o. 由正余弦定理知: 原式=sin220o+sin240o+sin20osin40o =sin220o+si