高等数学-离散数学及其应用-课件-第十章树的介绍讲述.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第十章 树的介绍 主要内容 无向树及其性质 生成树 根树及其应用 10.1 无向树及其性质 定义10.1 连通无回路的无向图称为无向树, 简称树. 每个连 通分支都是树的无向图称为森林. 平凡图称为平凡树. 在无 向树中, 悬挂顶点称为树叶, 度数大于或等于2的顶点称为 分支点． 例 f f f 星形树 * 无向树的性质 定理10.1 设G=V,E是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： (1) G 是树 (2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径. (3) G 中无回路且 m=n?1. (4) G 是连通的且 m=n?1. (5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥. (6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈. * (3)?(4). 只需证明G连通. 用反证法. 否则G有s(s?2)个连通 分支, 它们都是树. 于是, 有mi=ni?1, 这与m=n?1矛盾. 证明 (2)?(3). 若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一. 对n用归纳法证明m=n?1. 当n=1时成立. 设n?k时成立，证n=k+1时也成立：任取 一条边e，G?e有且仅有两个连通分支G1,G2 . ni?k，由归 纳假设得mi=ni?1, i=1,2. 于是， m=m1+m2+1=n1+n2?2+1=n?1. 证 (1)?(2). 若路径不惟一, 必有回路. * (4)?(5). 只需证明G 中每条边都是桥. 下述命题显然成立: G 是 n 阶 m 条边的无向连通图，则 m?n?1. ?e?E, G?e只有n?2条边，由命题可知G?e不连通，故e为桥. 证明 (5)?(6). 由(5)易知G为树. 由(1)?(2)知，?u,v?V（u?v）, u到v有惟一路径，加新边(u,v)得惟一的一个圈. (6)?(1). 只需证明G连通，这是显然的. 解得 x ? 2. 定理10.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶. 无向树的性质 证 设 T 有 x 片树叶，由握手定理及定理10.1可知， 例1 已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树. 解 设有x片树叶，n = 3+x. 2m = 2(n?1) = 2?(2+x) = 1?3+2?2+x 解出x = 3，故T有3片树叶. * 例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树. 例题 解 设T的阶数为n, 则边数为n?1，4度顶点的个数为n?7. 由握手定理, 2m = 2(n?1) = 5?1+2?1+3?1+4(n?7), 解出n = 8，4度顶点为1个. * 10.2 生成树 定义10.2 如果无向图G的生成子图T是树，则称T是G的生成树. 设T是G的生成树，G的在T中的边称为T的树枝，不在T中的边为T的弦. 称T的所有弦的导出子图为T的余树，记作 . 例 * 定理10.3 无向图G有生成树当且仅当G连通. 生成树存在条件 推论 G为n阶m条边的无向连通图，则m?n?1. 证 必要性显然. 证充分性．若G中无回路，则G为自己的生成树．若G中含圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边; 若仍有圈, 再任取一个圈并删去这个圈上的一条边，重复进行, 直到最后无圈为止. 最后得到的图无圈（当然无回路）、连通且是G的生成子图，因而是G的生成树． 这个产生生成树的方法称为破圈法． * 最小生成树 定义10.3 设无向连通带权图G=V,E,W，T是G的一棵生成 树，T的各边权之和称为T的权，记作W(T)．G的所有生成树 中权最小的生成树称为G的最小生成树. 避圈法（Kruskal） 输入: 连通图G=V,E,W 输出: G的最小生成树T 1. 将G中非环边按权从小到大排列: W(e1)?W(e2)? …?W(em). 2. 令T?{e1}, i?2. 3. 若ei与T中的边不构成回路, 则令T?T?{ei}. 4. 若|T|n-1, 则令i?i+1, 转3. * 例4 求图的一棵最小生成树. W(T)=38 实例 * 16.3 根树及其应用 定义10.4 若有向图的基图是无向树, 则称