连续信号与系统的时域分析.ppt

解 (1) 列写电路输入输出方程。 按图2.5-3，由KCL和KVL有 (2) 求冲激响应。 电路的输入输出算子方程为 根据式(2.5-5)， 求得 对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4 - 2)和式(2.4 - 3)可改写为 同理，可推得y(t)的各阶导数满足 2.4.2 零输入响应算子方程 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)， 且 y(t)和f(t)满足的算子方程为 yx(t)满足的算子方程为 2.4.3 简单系统的零输入响应 简单系统1 若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt。 此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=λ。将A(p)=p-λ代入式(2.4 - 10)可得 式中，c0=yx(0-)，其值由初始条件yx(0-)确定。因此，可得结论为 含义是：A(p)=p-λ对应的零输入响应yx(t)为c0eλt。 简单系统2 若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)eλt。 两边乘以e-λt，再取积分 2.4.4 一般系统的零输入响应 对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1, 2, …, l)，且λi是ri阶重根，那么，A(p)可以因式分解为 式中，r1+r2+…+rl=n 根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,….,l,将相应方程求 和，便得 所以方程A(p)yx(t)=0 第一步，将A（p）进行因式分解，即 综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是： 第二步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t) 第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输 入响应，即 第四步，根据给定的零输入响应初始条 或者0-系统的初始条件，确定常数 某例 2.4 – 1 某系统输入输出微分算子方程为 已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13, 求系统的零输入响应yx(t)。 解 由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2 所以 （2.4-16） 其一阶和二阶导函数为 (2.4-18) 代入初始条件值并整理得 在式（2.4-16）~(2.4-18)中，令t=0-,并考虑到 联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值代入式(2.4 - 16)，最后求得系统的零输入响应为 例 2.4-2 电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1Ω， R2=5Ω，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t≥0时的零输入响应iLx(t)。 图 2.4-1 例2.4-2图 解 画出给定电路的算子电路模型如图2.4-1(b)所示，列出电路的回路电流方程 为确定式(2.4-19)中的待定常数，除应用电感初始电流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，还需计算iLx’(0-)值。为此，画出t=0-时的等效电路如图2.4-1(c)所示，由KVL可得 2.5 连续系统的零状态响应 2.5.1 连续信号的δ(t)分解 任一连续信号f(t)与单位冲激信号δ(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即 图 2.5-1 连续信号的δ(t)分解 可以从图形上定性地说明式(2.5-1)的正确性。 由图2.5-1可见，当Δτ→0，即趋于无穷小量dτ时，离散变量kΔτ将趋于连续变量τ，式(2.5-3)中的各量将发生如下变化： 2.5.2 基本信号δ(t)激励下的零状态响应 1. 冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)， 如图2.5-2 所示。 ? 图2.5-2 冲激响应的定义 2. 冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H(p)，现在讨论从H(p)出发计算冲激响应h(t)的方法。具体做法是先研究若干简单系统的冲激响应，再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。 简单系统1 此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为 当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，上式可表示为 根据h(t)的定义，若在上式