微积分期末复习重点纲要 zhaoshuyuan.doc

09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导  第六章 定积分 一．本章重点 定积分的基本性质，定积分的计算， 变上限定积分的求导法。 二．复习要求 1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。 函数的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数在上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数及积分区间有关。 2. 理解并记住定积分的基本性质。 3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法： 4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。 牛—莱公式将定积分与不定积分这两个 截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数的一个原函数，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。 5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。 注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。 定积分适用分部积分的类型及、的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出的值。 6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。 7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。 三．例题选解 例1.求极限 解: 这是型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有 原式＝ ＝ （无穷小代换） ＝ 例2. 求定积分： ⑴ ⑵ （3）. 解: ⑴ 根据奇函数在对称区间积分的性质，有： ⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。 令则； 当时，，当时. == == = （3）显然本题积分 属适用分 步积分的类型.,根据，可得 . 例3. 求、、围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X轴旋转一周形成的旋转体的体积。 解：由所给曲线方程解得交点：（1，1）， （2，），(2，2) .画出平面图形如下: （1）求平面图形的面积. 视平面图形为形区域，得平面图形面积为： ＝ （2）求旋转体的体积. 视平面图形为形区域，有： 四．练习题及参考答案 1、求极限 2、求积分 ⑴ ⑵ （3）. 3、求由曲线，直线以及 围成的平面区域D的面积，及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积。 参考答案：1、 2、⑴ 0；⑵ ；（3） 3、⑴⑵ . 自我复习 习题六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2). 第七章 无穷级数 一．本章重点 数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定)。幂级数的收敛域的确定。利用幂级数的性质求幂级数的和函数。 二．复习要求 1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数收敛，则必有，但时，级数未必收敛。 2. 熟记等比级数 的敛散性： 当|q|1时，等比级数收敛到； 当|q|≥1时，等比级数发散。 3. 熟记p级数 的敛散性： 当p1时，p级数收敛； 当p≤1时，p级数发散。 4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定。 (1)首先考察是否有，若有则必发散； (2)通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的收敛性，特别是中含或的情形。 (3)考虑用比较判别法时，应先对通项作初步估计，再用适合的p级数的通项与之比较作出判定。 5.熟练掌握交错级数 绝对收敛还是条件收敛的判定。 (1)先考查是否收敛，若收敛，则 是绝对收敛； (2)若 发散，则用莱布尼兹判别法判定 是否收敛，若收敛，则为条件收敛。 6. 会求幂级数的收敛域。 (1) 对不缺项的幂级数（允许缺有限项），取其后项与前项系数之比的绝对值取极限： 确定收敛半径及收敛区间。 对有缺项的幂级数（指缺无限多项），则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限： 然后根据定理7.12确定收敛半径R及收敛区间。 (2) 讨论(-R, R)的端点 及处级数的收敛性，并写出收敛域(收敛区间加收敛的端点)。 7. 熟记幂级数的性质，特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。 (1) (2) 三.例题选讲 例1．判定下列级数的敛散性，对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛 (1). (2) (3) 解：(1)令 当时，， 显然 收敛，故原级数收敛。 小结：利用p 级数作比较标准，用比较判