数学实验--多项式插值计算及其收敛性实验.doc
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Lab02． 【实验目的和要求】
1．使学生深入理解Langrage插值法和Newton插值法以两者之间的异同，能用Matlab语言编写按Langrage插值法和Newton插值法计算插值的程序；
2．用所编写的程序进行插值计算、验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性；
3．使学生深入理解教材介绍的两种分段低次插值法，熟悉掌握函数interp1的使用；
4．使用函数interp1用不同方法进行插值计算，对教材介绍的几种分段低次插值法进行分析比较。
【实验内容】
1．根据Matlab语言特点，描述Langrage插值法和Newton插值法。
2．用Matlab语言编写按Langrage插值法和Newton插值法计算插值的程序。
3．对，分别取3个，5个、9个、11个等距节点，用所编写的程序进行插值计算并画图，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。
4．用函数interp1，对，用n=11个节点(等分)作分段线性插值、分段Hermit插值和三次样条插值，用m=101个插值点(等分)作图，比较结果。
【实验仪器与软件】
1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；
2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：
实验成绩：
评阅教师：
2012 年5 月 1 日
Lab02．次多项式在个节点上满足条件
（1）
就称这个次多项式为节点上的差值基函数。
差值基函数为
显然它满足条件（1）。于是，满足条件（1）的差值多项式可表示为
就称为拉格朗日Lagrange差值多项式。
Newton插值多项式算法描述：
Newton插值多项式的表达式如下：
其中每一项的系数ci的表达式如下：
根据以上公式，计算的步骤如下：
计算
计算
……
计算
计算
二、算法程序
编写lagrange函数如下
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
编写Newton插值法如下
function f = Newton(x,y,x0)
syms t;
if(length(x) == length(y))
n = length(x);
c(1:n) = 0;
else
display(你所输入的x与y的维数不相等！);
return
end
f = y(1);
y1 = 0;
l = 1;
for(i=1:n-1)
for(j=i+1:n)
y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));
end
c(i) = y1(i+1);
l = l*(t-x(i));
f = f + c(i)*l;
simplify(f);
y = y1;
if(i==n-1)
if(nargin == 3)
f = subs(f,t,x0);
else
f = collect(f);
f = vpa(f, 6);
end
end
end
三、插值计算
对，分别取3个，5个、9个、11个等距节点，用所编写的程序进行插值计算并画图，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。
Langrange算法:
取3个等距节点进行差值计算：
编写m函数如下：
x0=linspace(-5,5,3);
y0=1./(1+x0.^2);
x=-5:0.1:5;
y=1./(1+x.^2);
y1=lagrange(x0,y0,x);
plot(x,y,r,x,y1,b)
取5个等距节点进行差值计算
x0=linspace(-5,5,5);
y0=1./(1+x0.^2);
x=-5:0.1:5;
y=1./(1+x.^2);
y1=lagrange(x0,y0,x);
plot(x,y,r,x,y1,b);
取9个等距节点进行插值计算
x0=linspace(-5,5,9);
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