第6章实验五插值多项式的误差.doc

第6章 实验五插值多项式的误差 实验目的：明确插值多项式逼近函数是有误差的，了解误差的分布，哪些地方误差大些，哪些地方误差小些。我们应该如何控制这些误差。 6.1 插值误差余项多项式 举例说明多项式插值误差情况，用上的5个等距点对函数进行插值估计，插值多项式是通过以下给定的数据点的四次多项式： 误差定义为： 其中是插值余项，是5个数据点的拉格朗日插值多项式。图6.1是函数和误差的图形，可以观察到误差曲线是震荡的，它的值在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中十分典型，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质及插值区间的大小。 图6.1 函数和误差曲线的图形 清单6.1 （是作图6.1的程序） clear clc x=[-pi,-pi/2,0,pi/2,pi]; % 插值节点横坐标 y=[cos(-pi),cos(pi/2),cos(0),cos(pi/2),cos(pi)]; % 插值节点纵坐标 x1=-pi:0.001:pi; % 绘图点的横坐标 y1=Lagran_(x,y,x1); % 绘图点的纵坐标 e=cos(x1)-y1; % 插值误差 y2=e; plot(x,cos(x),.,x1,cos(x1),b,x1,y2,r) % 绘出两个函数曲线图形 xlabel(x);ylabel(cos(x) e(x)) text(1.2,0.6,cos(x),fontsize,18) text(-1.1,-0.1,e(x)=cos(x)-y,fontsize,18) 一般分析插值的误差： 如果当被插值是一个阶或更低阶多项式，则=0，即误差为零。否则，右端给出了对任意的误差上界估计，右端的分布完全由决定， 多项式函数分布曲线由程序清单6.2给出，分布图形由图6.2（a）、（b）、（c）、（d）分别给出。 清单6.2 clear,clf,hold on x=-pi:pi/2:pi; f=(x+pi).*(x+pi/2).*(x-0).*(x-pi/2).*(x-pi)./120; x1=-pi:0.01:pi; y2=1/30.*(x1+pi).*(x1+pi/2).*(x1-0).*(x1-pi/2).*(x1-pi)./120; axis([-pi,pi,-0.01,0.01]); subplot(2,2,1),plot(x,f,.,x1,y2,r),title((a)) xlabel(x);ylabel(1/30*g(x)); xp=-pi:pi/4:0; f1=(xp+pi).*(xp+3*pi/4).*(xp+pi/2).*(xp+pi/4).*(xp-0)./120; xp1=-pi:0.01:0; yp1=(xp1+pi).*(xp1+3*pi/4).*(xp1+pi/2).*(xp1+pi/4).*(xp1-0)./120; axis([-pi,pi,-0.01,0.01]); subplot(2,2,2),plot(xp,f1,.,xp1,yp1,r),title((b)) xlabel(x);ylabel(g(x)); xq=-pi:pi/4:pi; fq=(xq+pi).*(xq+3*pi/4).*(xq+pi/2).*(xq+pi/4).*(xq-0).*(xq-pi/4).*(xq-pi/2).*(xq-3*pi/4).*(xq-pi)./362880; xq1=-pi:0.01:pi; yq2=5*(xq1+pi).*(xq1+3*pi/4).*(xq1+pi/2).*(xq1+pi/4).*(xq1-0).*(xq1-pi/4)... .*(xq1-pi/2).*(xq1-3*pi/4).*(xq1-pi)./362880; axis([-pi,pi,-0.01,0.01]); subplot(2,2,3),plot(xq,fq,.,xq1,yq2,r),title((c)) xlabel(x);ylabel(5*g(x)); xr = [-3.0939 -2.7207 -2.0194 -1.0745 0.0000 1.0745 2.0194 2.7207 3.0939]; fr=(xr+3.0939).*(xr+2.7207).*(xr+2.0194).*(xr+1.0745).*(xr-0).*(xr-1.0745).*(xr-2.0194).*(xr-2.720