高数11-1选读.ppt

第11.1节 对弧长的曲线积分 一.问题的提出 二.对弧长曲线积分的概念 三.对弧长曲线积分的计算 四.几何与物理意义 五.小结 思考题 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 2.存在条件： 3.推广 注意： 4.性质 三、对弧长曲线积分的计算 定理 注意: 特殊情形 推广: 例1. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 解 例3. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算曲线积分 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 计算 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、几何与物理意义 例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度? = 1). 解: 建立坐标系如图, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提高题 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. L为球面 面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题 练习题答案 * * ( L.P362 例8 ) * * ( L.P362 例8 )