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第三章: 力矩与平面力偶系 §3-1 力矩的概念和计算 力的两种外效应 物体移动—由力的大小、方向和作用点决定 物体转动—由力矩的大小、方向和矩心决定 一.力对点之矩 M=?Fh M—力矩，力Ｆ对点O之矩，该点称为矩心，可 取空间任意点； h—力臂,力Ｆ作用线与矩心的垂直距离； M是代数量 符号：F使物体绕矩心逆时针转动为＋，反之为－ 单位：N·m（牛顿·米) 力矩使物体转动，不因力沿作用线移动而改变； 力矩为零：力作用线过矩心或二力共线平衡。 二．力对轴的矩 三．合力矩定理 Mo(F)=F?d =F?r?sin(a-q) = F?r?(sina? cosq –cosa ? sinq) = F?sina? r? cosq –F? cosa ?r? sinq) 因为： Fx=F?cosa Fy=F?sina x=r?cosq y=r?sinq 则： Mo(F)=x?Fy-y?Fx 三．合力矩定理 三．合力矩定理 Mo (FＲ)=∑Mo(Fi) §3-2力偶的概念 §3-2力偶的概念 §3-2力偶的概念 §3-2力偶的概念 §3-2力偶的概念 §3-2力偶的概念 力偶等效定理证明 (1)有力偶(F，F?)，其力偶矩为M (F，F?) (2)加一对平衡力(F1，F?1) ，力系: (F，F?)=(F，F?，F1，F?1) = (FR，F?R) 因图中三角形面积相等(ABF?=ABF?R) ∴ M (F，F?)=M(FR，F?R) (3)将(FR，F?R)平移到(FR1，F?R1)有 M(FR，F?R)=M(FR1，F?R1) ∴ M(F，F? )=M(FR1，F?R1) 结论：因力(F1，F?1)大小可任意， 故力偶可以旋转、平移 §3-3 平面力偶系的合成与平衡 一.平面力偶系的合成 设同平面内作用有两个力偶 (Ｆ?１，Ｆ?１)和(Ｆ２，Ｆ?２) 其力偶臂:d1,d2 力偶矩： Ｍ１＝＋Ｆ１d1 Ｍ2 ＝—Ｆ2 d2 一.平面力偶系的合成 ＭR称为合力偶矩，是力偶(ＦＲ，Ｆ?Ｒ) 的力偶矩，表为分力偶矩的代数和: ＭR= Ｍ１＋Ｍ2 一般情形下，当平面力偶系由n个力偶组成时，其力偶矩分别为M１,M２ , …，Mn，它们可合成为一个合力偶，其合力偶矩为： ＭR= Ｍ１＋Ｍ2＋．．． ＋Ｍn=∑Ｍi 二.平面力偶系的平衡条件 合力偶矩为零，则表示力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡。 因此平面力偶系平衡的必要且充分条件为力偶系中各力偶的力偶矩的代数和等于零。 例题(习题3-2)：计算力F对A、B点的力矩 例题(习题3-7) 作用在物体上同一平面内的若干力偶，总称为平面力偶系。 取力偶(F11,Ｆ?11)和(F22,Ｆ?22) 令: ＋Ｆ11d＝Ｍ1 —Ｆ22 d＝Ｍ2 记： ＦR＝F11-F22，Ｆ?R＝ F?11-F?22 d1 F?1 F1 d F11 F?11 F22 F?22 FR F?R d d2 F2 F?2 则： ＭR=ＦRd=(F11-F22)d =Ｆ１1d-Ｆ22d= Ｍ１＋Ｍ2 §3-3 平面力偶系的合成与平衡 　　即平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 比较： 使物体沿力的作用线移动 使物体在其作用平面内转动 力 力偶 力是矢量 （滑移矢） 力偶是矢量(自由矢) 平面力偶是代数量 共点力系可合成为一个合力 平面力偶系可合成为一个合力偶 合力偶定理: M=?Mi 合力投影定理有： FRx=F1x+F2x+…+Fnx=?Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=?Fy 平面力偶系平衡，表明力偶系作下物体无转动效应，即合力偶矩为零:∑Ｍi=０ 刚体平衡的三个方程 180mm Q 1 Q 2 P 2 P 1 80mm 负号表明力偶方向为顺时针。 解：由式 M = m + m 1 2 则 M=-Q · 0.18 - P · 0.08 = -350 N· m 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知Q = Q = 1.5 kN , P =P = 1 kN, 求作用在板 上的合力偶矩。 1 2 1 2 例3-1 N B N A m 1 m 2 A B d 。 60 4m A B m m 1 2 长为4m的简支梁的两端A、B处作用有二个力偶矩，各为 m1=16N·m，m2=4N·m。求A、B支座的约束反力。 例3-2 解：作AB梁的受力图。AB梁上作用的两个力偶组成