武汉纺织大学高等数学(下期中试卷)答案.doc

一 二 三 四 五 5 高等数学（90）（下）期中试卷 全校理工科 填空题(每小题3分，共27分) 1、的定义域为 ； 考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域） 2、平行于向量=的单位向量是； 考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别） 3、点到平面的距离为； 考点：点到平面的距离公式 4、过点且垂直于向量的平面方程为； 考点：平面方程（注意：点法式方程） 5、 函数在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为； 考点：方向导数（注意：书上的重要结论——函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模） 6、 交换积分次序：=； 考点：交换积分次序（注意：将型区域转化为型区域） 7、，则I在球坐标系下的三次积分为； 考点：球面坐标系 8、椭球面在点处的切平面方程是； 考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式） 9、曲线在面上的投影曲线的方程为。 考点：空间曲线在坐标面上的投影 二、计算题（每小题6分，共48分） 1、具有二阶连续的偏导数，，求。 解：(1) ； (2) 。 考点：多元抽象函数的高阶导数 （注意：符号的涵义） 2、求函数的一阶偏导数。 解：原函数变形为，则 ， ， 。 考点：多元函数的一阶导数（注意：先应用自然对数的性质变形） 3、从点作直线的垂线，求垂线的方程。 解：(1)由条件可得，已知直线的方向向量， (2)过点垂直于已知直线的平面方程为，即， (3)取已知直线过定点，则该直线的对称式方程为， 从而其参数式方程为 (4)将直线的参数式方程代入平面方程得：，解得， 从而已知直线与垂面的交点为， (5)所求的垂线的方向向量，因此所求的垂线方程为。 考点：过已知点求某直线的垂线（注意：先求过已知点求某直线的垂面方程，然后求垂足，最后利用点向式方程求垂线方程） 4、在曲线上求出一点，使过该点的切线平行于平面。 解：(1)取已知曲线上的点对应于满足题意，则在该点上曲线的切向量为 (2)已知平面的法向量为则由题意得，从而， 即，解得或， 故所求的点为和。 考点：空间曲线在已知点的切线（注意：空间曲线在已知点的切向量公式） 5、过点且通过直线的平面方程。 解：(1)由条件得已知直线过定点，其方向向量为， (2) 点和点确定的向量为， 则所求平面的法向量为， 从而所求的平面方程为，即。 考点：经过已知点和已知直线的平面（注意：用向量积求所求平面的法向量） 6、已知，求。 解：对原方程组两边分别关于求导得 解之即得，。 考点：一元隐函数组的求导（注意：自变量与函数值的区分） 7、 解：设， 其中，， 则原式 。 考点：二重积分（注意：区域的可加性和二次积分的应用） 8、计算积分 解：设 其中 则 。 考点：三重积分（注意：柱面坐标系的应用） 三、计算由曲线直线 及围成的区域。（6分） 解：设，其中 ,，则 ， 又 ， ，故。 考点：二重积分（注意：区域的可加性和极坐标系的应用） 四、求，这里由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面 所围的立体。（7分） 解：由条件得，其中，则 原式 。 考点：三重积分（注意：旋转曲面、极坐标系的应用）在计算时x^2+y^2/=2z !!!! 五、计算，这里与平面所围立体。（6分） 解：由条件得，其中，则 原式 。 考点：三重积分（注意：极坐标系的应用） 六、求曲面（6分） 解：欲求已知曲面的最高点与最低点，需求的最大值与最小值即可。 对原方程两边分别关于和求导得 解方程组 可得，将之代入原方程得， 即，因为原曲面必存在最高点与最低点， 故其最高点的坐标为，最低点的坐标为。 考点：函数的极值与最值（注意：问题的转化）