正弦定理余弦定理及解三角形.doc

§4.6　正弦定理、余弦定理及解三角形 1． 正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2. S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的 个数 一解 两解 一解 一解 4. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，AB必有sin Asin B． (　√　) (2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)． (　√　) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形． (　√　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形． (　×　) (5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. (　×　) 2． (2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A为锐角，∴A＝. 3． (2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　B 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0Aπ，得A＝，所以△ABC为直角三角形． 4． 在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________． 答案　2 解析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2sin C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角， 由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值2. 5． 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案　30 解析　如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°， 在△AMB中， 由正弦定理得＝，解得BM＝30 (km)．  题型一　正、余弦定理的简单应用 例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 (　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2