学生版 《正弦定理、余弦定理及解三角形》 高考复习讲义.doc

§4.6　正弦定理、余弦定理及解三角形 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin Acos A＝；cos B＝；cos C＝ 2. S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的 一解 两解 一解 一解 4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，AB必有sin Asin B．(　 　) (2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)．(　　) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形．(　　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(　　) (5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) 2．(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于(　 　) 3．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　 　) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定 4．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为___ _____． 5．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为__ km. 题型一　正、余弦定理的简单应用 例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于(　 　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则sin B＋sin C的最大值为(　 　) A．0 B．1 C. D. 思维启迪　(1)由sin C＝2sin B利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A. 思维升华　(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　 　) A. B．－ C．± D. (2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________． 题型二　正弦定理、余弦定理的综合应用 例2　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c. 思维启迪　利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c. 思维升华　有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化． (2)合理运用三角函数公式