课时跟踪检测(八)直线与椭圆的位置关系.doc

课时跟踪检测（八） 直线与椭圆的位置关系 层级一　学业水平达标 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　　　　　 　B．相交 C．相离 D．不确定 解析：选B　直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B． 2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选A　由消去y得， (m＋n)x2－2nx＋n－1＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)， 则x1＋x2＝，x0＝， 代入y＝1－x得y0＝． 由题意＝，＝，选A． 3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．(0,1) B．0， C．0， D．，1 解析：选C　∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴cb，∴c2b2＝a2－c2，即2c2a2，∴，即．又e0，∴0e． 4．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则| |＝(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选A　设点A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)． 由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0． ∴x0＝，y0＝n． 将x0，y0代入＋y2＝1， 得×2＋2＝1． 解得n2＝1， ∴||＝＝＝． 5．(全国卷)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)， 所以直线AB的方程为y＝(x－3)， 代入椭圆方程＋＝1消去y， 得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2， 又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3． 所以E的方程为＋＝1． 6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______． 解析：由 消去y并化简得x2＋2x－6＝0． 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6． 弦长|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝． 答案： 7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，| |＝1，且·＝0，则||的最小值是________． 解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点． ·＝0， ⊥． ||2＝| |2－||2＝||2－1， 椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，||min＝． 答案： 8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________． 解析：由＋＝1可得F(－1,0)． 设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， 当且仅当x＝2时，·取得最大值6． 答案：6 9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 解：a2＝4，b2＝1，c＝＝， 右焦点F(，0)，直线l的方程y＝x－． 由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0． 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝ ＝＝， 即弦AB的长为． 10．设椭圆C：＋＝1(ab0)过点(0,4)，离心率为． (1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1， b＝4．又e＝＝，得＝， 即1－＝，a＝5， C的方程为＋＝1． (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)． 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为． 层级二　应试能力达标 1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．1 C．0 D．0或1 解析：选A　由题意，得 2，所以m2＋n24，则－2m2，－2n2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．故