经济学专业数学导数的运算配套课件.ppt

* * 七、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数 * * 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 ( C为常数 ) 3. 反函数的求导法则 单调可导, 则 4. 复合函数求导法则 5. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数 * * 内容小结 1. 掌握函数求导的法则 四则运算的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 2. 记住一些基本初等函数的导数公式 * * 3. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 4. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 5. 参数方程求导法 6. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 * * 课后练习 习题2-2 1单数题；2单数题； 5（2）（4）； 6（2）；7；9 思考与练习 求 1. 设 答案: * * 思考与练习 1. 对吗? 2. 求下列函数的导数 答案： * * 其中 在 因 故 正确解法: 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 3. 设 * * 求 解: 方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式. 4. 设 * * 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 2. 设 * * 第二节 导数的运算 第二章 三、反函数的求导法则 二、函数的和、差、积、商的求导法则 一、几个初等函数的导数 四、复合函数的求导法则 八、小结与思考题 五、隐函数的导数 六、参数方程确定的函数的导数 七、基本导数公式与求导法则 * * (C 为常数) ，则 证: 即 设函数 证: 设函数 一、几个初等函数的导数 1．常数的导数 2．幂函数的导数 则 * * 对一般幂函数 ( 为常数) 例如， （以后将证明） 说明： * * 类似可证得: 证: 即 3．正弦函数与余弦函数的导数 * * 证: 即 特别的， 4．指数函数的导数 * * 证： 即 5．对数函数的导数 * * 利用导数的定义得出以下导数公式： * * 但是，对于比较复杂的函数， 直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的极限： 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！ * * 二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . * * 此法则可推广到任意有限项的情形. 设 , 则 故结论成立. 例如, 证: （1） * * 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) （2） * * 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) （3） * * 的导数. 例1 求函数 答案： 和 例2 求函数 的导数. 答案： 和 例3 求函数 的导数. 答案： * * 三、反函数的求导法则 定理2 y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 * * 例4 求反三角函数的导数。 解: 设 则 类似可求得 利用 , 则 * * 四、复合函数的求导法则 在点 x 可导, 定理3 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 证: 在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 * * 说 明： * * 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. （3） 此法则可推广到多个中间变量的情形. * * 的导数. 例5 求函数 答案： 例6 设 提示： 分情况讨论。 答案： 由此可见， 即 答案： * * 求 解: 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 例8 设 练习 （习题2－2 10 ） * * 五、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function） 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) * * 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 例9 求由方程 * * 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求