第一讲《不等式和绝对值不等式》课件5课时.ppt

第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式 2、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。 探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？ 分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。 二、绝对值不等式 定理1的代数证明： 2、绝对值不等式的解法 复习：如果a0，则 |x|a的解集是(-a, a)； |x|a的解集是(-∞,a)∪(a,+∞) O a -a x O -a a x |x|a |x|a 利用绝对值的集合意义 * * 1、不等式的基本性质： ①、对称性： ②传递性：_________ ③ 、 a+c＞b+c ④ 、ab,cd _________ ⑤ a＞b， ， 那么ac＞bc； a＞b， ，那么ac＜bc ⑥ 、a＞b＞0， 那么，ac＞bd ⑦、ab0，那么anbn.（条件 ） ⑧、 a＞b＞0 那么 （条件 ） a+cb+d 练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由： （1）如果ab，那么acbc； （2）如果ab，那么ac2bc2； （3）如果ab，那么anbn(n∈N+)； （4）如果ab, cd，那么a-cb-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 （假命题） （假命题） （真命题） （假命题） 解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =200， 所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6) 比较大小通常用比较法，整式，分式，对数式多用作差法，幂，指数式多用作商法。 例2、 已知ab0，cd0，求证： 例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。 证明：因为ab0, cd0， 由不等式的基本性质（5）可得acbc, bcbd， 再由不等式的传递性可得acbcbd。 练习： 如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由 。 例3、若a、b、x、y∈R，则 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 C 例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： （1）若cab0，则 （2）若ab, ，则a0，b0。 （真命题） （真命题） 小结：理解并掌握不等式的八个基本性质 作业：课本P10第3题。求证： （1）如果ab, ab0，那么 （2）如果ab0，cd0，那么acbd。 a a b b b A H I D K G B J C F E 如图把实数a， b作为线段长度， 以a≥b为例，在 正方形ABCD中， AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b. 则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。 定理2（基本不等式） 如果a，b0，那么 当且仅当a=b时，等号成立。 证明：因为 =a+b-2 ≥0， 所以a+b≥ ， 上式当且仅当 ，即a=b时，等号成立。 称为a,b的算术平均 称为a，b的几何平均 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。 C A B D O 例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。 结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用