chb矩阵角分解.PPT

第五章 线性方程组直接解法 矩阵三角分解 LU分解紧凑方式 LU分解紧凑算法（续） LU分解紧凑算法（续） 例题 例题 例题 例题 例题 对称矩阵的Cholesky分解（平方根法） 在应用数学中，线性方程组大多数的系数矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程组的一种有效方法，且分解过程无需选主元，有良好的数值稳定性。 对称矩阵的Cholesky分解 A对称：AT=A A正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即 对称矩阵的Cholesky分解 由Doolittle分解，A有唯一分解 对称矩阵的Cholesky分解 定理 设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,…,dn)且di0(i=1,…,n) 对称矩阵的Cholesky分解 证明： 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 证明： Cholesky分解的求法 Cholesky分解的求法 Cholesky分解的求法 Cholesky分解法 改进Cholesky分解法 改进的cholesky分解A=LDLT 改进的cholesky分解 改进的cholesky分解 改进的cholesky分解算法 改进的cholesky分解算法 例题 例题 例题 例题 * * * * *数计学院《数值计算》课程建设组QAB *数计学院《数值计算》课程建设组QAB 第三节 矩阵三角分解 将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积称为矩阵的三角分解。 高斯消去过程其实就是一个矩阵的三角分解过程。 直接利用矩阵乘法来计算 LU分解 ?比较等式两边的第一行得： u1j = a1j 比较等式两边的第一列得： ?比较等式两边的第二行得： 比较等式两边的第二列得： ( j = 1,…, n ) ( i = 2,…, n ) ( j = 2,…, n ) ( i = 3,…, n ) U 的第一行 L 的第一列 U 的第二行 L 的第二列 第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出 比较等式两边的第 k 行得： 比较等式两边的第 k 列得： 直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。 ( j = k, …, n ) ( i = k+1, …, n ) 算法 ( LU 分解 ) For k=1,2,...,n End For j = k, …, n i = k+1, …, n 为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U。 运算量：(n3 - n)/3 LU分解求解线性方程组 Ax = b ( i = n , …, 1 ) ( i = 1, …, n ) 两次回代过程求出方程组的解： 运算量： n2 LU分解 总运算量： 推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解 其中L为具有主对角元素为正数的下三角矩阵。 算法1 对正定矩阵A做LLT分解(平方根法) Ax=b LLTx=b 记LTx=y,Ly=b 由Ly=b求出y, 再由LTx=y求出x 公式：故对于j=1,2,…,n 1）求L 2）由Ly=b求出y 3）由LTx=y求出x Cholesky分解法缺点及优点 优点：可以减少存储单元。 缺点：存在开方运算，可能会出现根号下负数。