北师大2011课标版 八年级下册(2013年11月第1版)第一章 三角形的证明1. 等腰三角形.ppt

想一想, 做一做 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗? 作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它． 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 用心想一想，马到功成 2 1 E D C B A 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 用心想一想，马到功成 4 3 E D C B A 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4． 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高． 1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 求证：BD=CE． E D C B A 分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线． 2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 求证：BD=CE． E D C B A 分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢? 想一想, 做一做 议一议 1．在等腰三角形ABC中， (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论? (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论? 小结 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， AE= AB，那么BD=CE. 1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C＝60°. C B A 随堂练习 及时巩固 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, 求证:AE=CD A B C D E 证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD .将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于3种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算