线代2010年A(A)答案.doc

南 京 林 业 大 学 试 卷 课程线性代数A（A卷答案）2010 ~2011学年 第一学期 填空题（共20分，每题2分） 1．已知全排列为偶排列，则 3 ； 2 . 2．设为3阶方阵，且满足2,是的伴随矩阵，则 32 . 3．将矩阵添加一行得到矩阵，记，则的大小关系为. 4．已知，则矩阵的第3行所有元素的余子式之和为 0 . 5．若3阶方阵的特征值为1、2、-3，则 39 . 6．已知为四元方程组三个解，其中的秩,, ,则方程组通解为. 7. 三维向量空间中向量在基，，下的坐标为. 8．二次型的矩阵为，则二次型 . 9.设为实数域R上的线性空间,则的维数等于 2 . 10. 设二次型,则当取值范围为时，为正定二次型. 三、 二、计算下列行列式（每题6分，共12分） 1、 2、 解：1、 （2分，4分，6分） 2、 ． （2分，4分，6分） 三、（6分）设,其中，求． 解：．（2分，4分，6分） 四、（12分）解矩阵方程，其中． 法一、解：由得 2分 6分 ，则． （10分，12分） 法二、，（8分,12分） 五、（12分） 设线性方程组，问当等于何值时，方程组（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解. 解： 4分 则当时，，有惟一解； 6分 当时，，无解； 8分 当时，，有无穷多个解，此时： ，即，则. 12分 六、（12分）设求的一个最大无关组和向量组的秩，并将其余向量由此最大无关组线性表示. 解： ，（2分，4分，6分） 则此向量组的秩为3，可取最大无关组为. （8分，10分，12分）七、（本题14分）求一正交变换，化二次型为标准形，并写出相应的标准形. 解：，令，可得， 4分 当，得特征向量 令； 8分 当时，，得特征向量令 10分 则所求正交变换为，其中，标准形为． 14分 八、证明题（每小题6分,共12分） (1) 设是齐次方程组的一个基础解系,证明：也是的基础解系； 证明：因为，所以方程组的解，同理 也是的解； 2分 又因为，而， 4分 则向量组与等价，所以也是基础解系； 6分 (2)设，其中为n维非零列向量，证明：的充分必要条件是. 证明：因为 3分 所以. 6分 3 名 姓 号 学 号