核按钮2017高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明 12.5 数学归纳法习题 理.doc

§12.5　数学归纳法 1．数学归纳法的证题步骤一般地证明一个与正整数n有关的命题可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k≥n)时命题成立证明当____________时命题也成立．只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n开始的所__________都成立．数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题证明时它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．自查自纠(2)n＝k　n＝k＋1　正整数n正整数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(n∈N*，n1)时第一步应验证不等式(　　)＋＋＋＋＋＋＋＋3 解：∵n∈N取的第一个数为2左端分母最大的项为＝故选 设f(n)＝＋＋…＋(n∈N)，那么f(n＋1)－(n)等于(　　) B. C.＋－解：f(n＋1)－f(n)＝[＋＋…＋＋＋]－＝＋－＝－故选 ()设f(x)是定义在正整数集上的函数且f(x)满足：“当f(k)≥k＋1成立时总可推出f(k＋1)≥＋2成立”．那么下列命题总成立的是(　　)若f(1)2成立则f(10)11成立若f(3)≥4成立则当k≥1时均有f(k)≥k＋1若f(2)3成立则f(1)≥2成立若f(4)≥5成立则当k≥4时均有f(k)≥k＋1成立解：根据题意若f(4)≥5成立则f(n＋1)≥n＋2(n)，即f(k)≥k＋1(k≥5)．综合f(4)≥5可知当k≥4时均有f(k)≥k＋1成立．故选 已知数列，，…，，通过计算得S＝＝＝由此可猜测S＝____________．解法一：通过变化规律猜测S＝解法二：S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝ 1－＝故填 用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2(2n－1)(n∈N)”时从n＝k到n＝k＋1等式的左边需要增乘的代数式是____________．解：当n＝k时等式左边＝(k＋1)(k＋2)k＋k)当n＝k＋1时等式左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋1＋k＋1)＝＝2(2k＋1)(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)．观察、比较可知从n＝k到n＝k＋1等式的左边需要增乘的代数式是2(2k＋1)．故填2(2k＋1)． 类　证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N)．证明：(1)当n＝1时左边＝1－＝右边＝等式成立．(2)假设n＝k(k∈N)时等式成立即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋那么当n＝k＋1时－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N都成立．用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时关键在于“先看项”弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两边的构成规律然后正确写出归纳证明的步骤即可证明待证等式．　求证：1－2＋3－4＋…＋(2n－1)－(2n)＝－n(2n＋1)(n∈N)．证明：①n1时左边＝1－2＝－3右边＝－3等式成立．假设n＝k时等式成立即－2＋3－4＋…＋(2k－1)－(2k)＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时－2＋3－4＋…＋(2k－1)－(2k)＋(2k＋1)－(2k＋2)＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)－(2k＋2)＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k＋5k＋3)＝－k＋1)[2(k＋1)＋1]所以n＝k＋1时等式也成立．由①②得等式对任何n∈N都成立．类型二　证明不等式　已知(n)＝1＋＋＋＋…＋(n)＝－. (1)当n＝1时试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系并给出证明．解：(1)当n＝1时(1)＝1(1)＝1所以f(1)＝g(1)；当n＝2时(2)＝(2)＝所以f(2)g(2)；当n＝3时(3)＝(3)＝所以f(3)g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)下n＝1时不等式显然成立．假设当n＝k(k≥3)时不等式成立即1＋＋＋＋…＋－那么当n＝k＋1时(k＋1)＝f(k)＋－＋因为－＝－＝所以f(k＋1)－＝g(k＋1)．由①、②可知对一切n∈都有f(n)≤g(n)成立．用数学归纳法证明不等式同样要弄清增加的项很多情况下还要利用放缩法进行证明．　已知函数f(x)＝－x数列{a满足条件：a＋1(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小并说明理由．解：∵f′(x)＝x－1＋1(an＋1)＋1(an＋1)－1.函数g(x)＝(x＋1)－1＝x＋2x在区间[－1＋∞)上单调递增于是由a及a(a1＋1)－1得－1进而得a(a2＋1)－1≥2－12－1由此猜想：a－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n＝1时－1＝1结论成立；假设当n＝k(k≥1且k∈N)时结论成立即a－1则当n＝k＋1时由g(x)＝(x＋1)－1在区间[－1＋∞)上单调递增知＋1