核按钮2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用(一)习题 理.doc
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§3.2 导数的应用(一)
1.函数的单调性与导数在某个区间(a)内如果f′(x)0那么函数y=f(x)在这个区间内____________;如果f′(x)0那么函数y=f(x)在这个区间内____________;如果在某个区间内恒有f′(x)=0那么函数f(x)在这个区间上是________.函数的极值与导数(1)判断f(x)是极大值还是极小值的方法:一般地当f′(x)=0时如果在x附近的左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0那么f(x)是极大值;如果在x附近的左侧右侧那么f(x)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤:求f′(x);求方程的根;检查f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号.如果左正右负那么f(x)在这个;如果左负右正那么f(x)在这个根处取得.函数的最值与导数(1)在闭区间[a]上连续的函数f(x)在[a]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a]上单调递增则__________为函数在[a]上的最小值为函数在[a]上的最大值;若函数f(x)在[a]上单调递减则为函数在[a]上的最大值为函数在[a]上的最(3)设函数f(x)在[a]上连续在(a)内可导求f(x)在[a]上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a)内的极值;将f(x)的各极值与端点处的函数值______进行比较其中最大的一个是________最小的一个是________.自查自纠单调递增 单调递减 常数函数1)②f′(x)<0 f′(x)>0(2)②f′(x)=0 ③极大值 极小值(2)f(a) f(b) f(a) f(b)(3)②f(a) f(b) 最大值 最小值
关于( )导数为0的点一定是函数的极值点函数的极小值一定小于它的极大值(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值若f(x)在(a)内有极值那么f(x)在(a)内不是单调函数解:导数为0的点不一定是极值点(如y=x在x=0处)而极值点的导数一定为0.极值是局部概念因此极小值可能有多个且有可能大于极大值.极值点是单调性的转折点.故选.
()函数f(x)=x-2的单调递减区间是( )(0,1) B.(1+∞)(-∞) D.(-1)
解:∵f′(x)=2x-=(x>0).x∈(0,1)时f′(x)<0(x)为减函数;当x∈(1+∞)时(x)>0(x)为增函数.故选 设函数f(x)=2x-1则( )=1为f(x)的极大值点=1为f(x)的极小值点=-1为f(x)的极大值点=-1为f(x)的极小值点解:求导得f′(x)2ex+2x=2(x+1)令f′(x)=(x+1)=0解得x=-1易知x=-1是函数f(x)的极小值点.故选 已知f(x)=x-ax在[1+∞)上是增函数则a的最大值是________.解:f′(x)=3x-a令3x-a≥0即a≤3x1,+∞)上恒成立得a≤3即a的最大值是3.故填3. 函数f(x)=x+2的最大值是________.解:f′(x)=1-2令f′(x)=0得=从而x=当x∈时(x)>0(x)单调递增;当x∈时(x)<0(x)单调递减所以f(x)在x=处取得极大值即最大值+故填+
类型一 导数法判断函数的单调性 已知函数y=f(x)的图象如图所示则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
解:由题意得函数y=f(x)在(00,+∞)上恒小于0排除;又∵函数y=f(x)在(-∞)上先单调递增后单调递减再单调递增则其导函数在(-∞)上先大于0后小于0再大于0排除故选导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)说明导函数在该区间大于0(小于0)那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减). ()如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象则下面判断正确的是( )
A.在(-2)上f(x)是增函数在(1)上f(x)是减函数当x=2时(x)取极大值当x=4时(x)取极大值解:由y=f′(x)的图象可得y=f(x)的大致图象如图.
由图可知D均错.故选类型二 导数法研究函数的单调性 ()已知函数f(x)=--ax(a∈).(1)当a=时求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)1,1]上为单调函数求实数a的取值范围.解:(1)当a=时(x)=--(x)=[()2-3+2]=(-1)(-2)令f′(x)=0得=1或=2即x=0或x=令f′(x)>0则x<0或x>;令f′(x)<0则0<x<(x)的递增区间是(-∞),(ln2,+∞);递减区间是(0).(2)f′(x)=+-a令=t由于x∈[-1],∴t∈.
令h(t)=+(t)=-=当t∈时(t)≤0,函数h(t)为单调减函数;当t∈(]时(t)>0函数h(t)为单调增函数.故h(t)上的极小值点为t=又h()=+<h=+(
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