激光原理第二章2.7研讨.ppt

太 原 理 工 大 学 理 学 院 物 理 系 太 原 理 工 大 学 物理与光电工程学院 太 原 理 工 大 学 理 学 院 物 理 系 第七节 圆形镜共焦腔 圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解——超椭球函数！ 数学上，对超椭球函数的研究不像对长椭球函数那样成熟！这里只讨论菲涅耳数N足够大时的近似解。 一、拉盖尔—高斯近似 1、当 时，可用拉盖尔—高斯近似 (1)镜面上的场分布：本征函数拉盖尔—高斯函数(用极坐标) 归一化常数 说明: cos 和 sin 可任取其一，但当m=0时，只能取cos，否则本征函数无意义。 缔合拉盖尔多项式 (2) 缔合拉盖尔多项式 (3) 前几阶镜面场函数 与方形镜的情形一样 2、 本征值 说明：N越大，用拉盖尔—高斯近似的误差越小！ 二、拉盖尔—高斯近似下共焦腔模的特征 1、模的振幅分布 (1)基模 与方形镜的情形一样 光斑半径 花样特点：无节线，在 r = 0 处振幅最大。 (2)高次模 ：与对应的本征函数一样。 m、n的意义? TEMmn的光斑半径：场振幅下降为最外面一个极大值的1/e的点与镜面中心的距离。 特点：阶次越高，光斑半径越大。 2、模的相位分布 因 为实数，则等相位面也为镜面。 m沿幅角方向的节线数目(暗直径数） n沿径向的节线数目（暗环数）。 3、单程相移和谐振频率 几何相移 附加相移 (1)单程相移 (2) 谐振频率 可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜的类似！ (3) 频率间隔：也与方形镜的一样。 (4)单程衍射损耗 数值迭代表明，损耗仍然与N、m、n相关！而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗要大方形镜的几倍。 只有精确解才能给出损耗与N及横模指标m和n的关系！ 三、 圆形镜共焦腔的行波场 在拉盖尔-高斯近似下，由一个镜面上的场所产生的圆形镜共焦腔的行波场为 其中 圆形镜共焦腔的行波场与方形镜共焦腔的行波场表达式十分类似。圆形镜共焦腔的行波场特性的推导方法与方形镜相同, 其基模光束的特征也完全相同。 四、 对称共焦腔的模式小结 1、 对称共焦腔在近似下(在N1时), 自再现模可以用厄米—高斯或拉盖尔—高斯函数近似描述场分布。其中人们较多关心基模情况，对应的行波为基模高斯光束。 2、只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。 3、衍射损耗低； 模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化; 等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。 自再现模所应满足的积分方程 分离变量法 方形镜对称共焦腔镜面场分布 （长椭球函数） 厄米-高斯函数 圆形镜对称共焦腔镜面场分布 （超椭球函数） 对称共焦腔 拉盖尔-高斯函数 N?? 近似 镜面场分布 空间行波场分布 本征值? ?D，nmnq 腔内、外行波场 腔内、外行波场 基模?高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、? 本征函数 镜面上光斑 空间场分布 光斑、相位 衍射损耗? 太 原 理 工 大 学 理 学 院 物 理 系 太 原 理 工 大 学 物理与光电工程学院 太 原 理 工 大 学 理 学 院 物 理 系