激光原理第9讲a(第二章习题答案).doc

第二章 开放式光腔与高斯光束 习题 1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 其往返矩阵为： 由于是共焦腔，有 往返矩阵变为 若光线在腔内往返两次，有 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔的稳定性条件为0gg1,其中g=1- ,g=1- （a对平凹腔：R=,则g=1, 01-1，即0LR (b)对双凹腔：0gg1, 01 ，或且 (c)对凹凸腔：R=,R=-, 01，且 3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。 解：设两腔镜和的曲率半径分别为和， 工作物质长，折射率 根据稳定条件判据： 其中 由(1)解出 由(2)得 所以得到： 4．图2.1所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。 图2.1 解： 稳定条件 左边有 所以有 对子午线： 对弧矢线： 有： 或 所以 同时还要满足子午线与弧失线 5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。 解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式 根据已知条件求出腔的菲涅耳数 由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为 氦氖增益由公式 计算。代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求 根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。 6．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成 令，则I式可以写成 式中为厄米多项式，其值为 由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得 考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置 所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。 8．今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解：该球面腔的g参数为 由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。 两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为 根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。 14．某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。 解：入射高斯光束的共焦参数 根据 z 30cm 10m 1000m 1.45mm 2.97cm 2.96m 0.79m 10.0m 1000m 求得： 15．若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的参数值，与束腰相距30cm处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。 解：入射高斯光束的共焦参数 根据，可得 束腰处的q参数为： 与束腰相距30cm处的q参数为： 与束腰相距无穷远处的q参数为： 16．某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。 解：入射高斯光束的共焦参数 又已知，根据 得 10m 1m 10cm 0 2.00cm 2.08cm 2.01cm 2.00cm 2.40 22.5 55.3 56.2 从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论