第3章矩阵的初等变换与线性方程组.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1)无解的充要条件 ——R(A)?R(A? b)? (2) 唯一解的充要条件——R(A)?R(A? b)?n? (3)有无限多解的充要条件——R(A)?R(A? b)?n? [定理3-3] n元线性方程组Ax?b，则： 二、线性方程组的解 n元齐次线性方程组: 1、齐次线性方程组 由[定理3-3]知，齐次线性方程组肯定有解。 （1）当R(A)=n时，齐次线性方程组有唯一零解。 （2）当R(A)=r n时，齐次线性方程组有非零解（无限多解）。 解齐次线性方程组的重点是求非零解 (通解）。 求解齐次线性方程组的方法： （1）对系数矩阵A作行变换化为行阶梯形。 确定 （2）若r =n,则知： （3）若R（A）=r n，进一步将A化成行最简形。根据A的行最简形，写出含n-r个参量的通解（非零解）。 齐次线性方程组只有零解。 [例3-10]求解齐次线性方程组 [解]对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形： ~ ~ 方程组有唯一解 [例3-11]求解齐次线性方程组 [解]对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形： ~ ~ ~ ~ ~ 由A的行最简形，得： 令 x2=c1 , x4=c2，则有： 求解线性方程组的方法： （1）对增广矩阵B作行变换化为行阶梯形。 确定 和 （2）若R（A ）=R（B），则进一步把B化成行最简形。 （3）若R（A）=R（B）=n，，由B的行最简形，即可写出方程组有唯一解。 若 则方程无解。 2、非齐次线性方程组 （4）设R（A）=R（B）=rn，由B的行最简形，即可写出含n-r个参量的通解。 还以上节课中线性方程组为例： ~ ~ [例3-12]求解非齐次线性方程组 [解]对增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形： ~ ~ 此方程组无解。 [例3-13]求解非齐次线性方程组 [解]增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形： ~ ~ ~ 解得： 即 三、矩阵方程 1、线性方程组 [定理3-4] n元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是： [定理3-5] 线性方程组 有解的充要条件是 [定理3-6] 矩阵方程AX=B有解的充要条件是 2、矩阵方程 将X和B按列分块为： 矩阵方程有解无解的判别 矩阵方程AX=B的求解方法 [定理3-7] 设AB=C ，则 [证明] ： 因AB=C，知矩阵方程AX=C有解：X=B，则由[定理3-6]有： 矩阵秩的性质（5）知 又 同理有 综合得： 例如： 例如： 例如： 例如： 例如： ~ ~ ~ （1）先证明：max{R(A), R(B)}≤R(A,B) 矩阵秩的性质（5）证明： （2）再证明：R(A,B)≤ R(A)+ R(B) 设R(A)=r，R（B）=t.把A和B分别作列变换化为列阶梯形A1和B1，则A1和B1中分别含有r个和t个非零列。故可设： 由于 (A1 ， B1)中只含有r+t个非零列.故： 综合（1）、（2）有： 矩阵秩的性质（6）证明： 由性质（5）知： 设R(A)=r,设增广矩阵 的行最简形为 ~ (1) 若R(A)?R(B)，则BF中的dr+1=1，于是BF的第r +1行对应矛盾方程0=1，方程组无解。 [定理3-3]证明： (2) 若R(A)=R(B)=r=n，则BF中的dr+1=0，且bij都不出现，即 则BF对应方程为： ~ 故方程组有唯一解。 (3) 若R(A)=R(B)=rn，则BF中的dr+1=0 则BF对应方程为： 令自由未知数xr+1=c1,…xn=cn-r，方程组的解为： 即方程组的通解为： 此种情况，方程组有无限多个解。 [定理3-6]的证明： 设A为m ? n矩阵，X为n?l矩阵，B为m?l矩阵。 把X和B按列分块为： 则矩阵方程AX=B等价于l 个向量方程（线性方程组）： 又设R(A)=r,且A的行最简形为 ，则 有r个非零行，且 的后n-r行全为零，再设： 从而有：