核按钮2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6 几何概型习题 理.doc

§10.6　几何概型 1．随机数是在一定范围内随机产生的数并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器等都可以产生随机数．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例则称这样的概率模型为________________简称____________．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A则事件A发生的概率(A)＝______________求试验中几何概型的概率关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量然后代入公式即可求解．自查自纠均等的长度　面积　体积　几何概率模型　几何概型 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a则事件“3a－10”发生的概率为(　　) B. C. D. 解：3a－10即a所求概率P＝＝故选 ()如图矩形ABCD中点A在x轴上点B的坐标为(1)，且点C与点D在函数(x)＝ 的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 解：B(1)，易得C(12)，则D(－2)，A(－2)，又(x)的y轴交点为(0)，∴阴影部分的面积为＝故所求概率为＝故选 ()在区间[0]上随机取两个数x记p为事件“x＋y≥的概率|x－y|≤的概率为事件“xy≤的概率则(　　)解：如图(1)所示阴影部分表示事件“x＋y≥的取值区域则p＝＝S 如图(2)所示阴影部分表示事件“|x－y|≤的取值区域则p＝＝S如图(3)所示阴影部分表示事件“xy≤的取值区域则p＝＝S显然S则p故选 ()在区间[－2]上随机地取一个数x若x满足的概率为则m＝____________．解：显然m2由几何概型得＝解得m＝3.故填3. ()如图点A的坐标为(1)，点C的坐标为(2)，函数(x)＝x若在矩形ABCD内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等于________． 解：依题意知点D的坐标为(1)，矩形ABCD的面积S＝1×4＝4阴影S阴影＝4－＝4－＝4－＝根据几何概型的概率计算公式得所求的概率P＝＝故填 类型一　以长度为度量的几何概型 　在半径为1的圆内的一条直径上任取一点过这个点作垂直于该直径的弦则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 解：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦当弦为CD时就是等边三角形的边长CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于由几何概型公式得：(A)＝＝故填①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P(A)＝本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一该1的圆C内任意作一弦此弦长度大于该圆内接正三角形边长()的概率是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确与之对应的随机试验及基本事件也不同从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外还有两种常见解答而这三种解答结果各不相同从而形成所谓的“悖论”．另外两种如下：(Ⅰ)以为半径作圆C的同心圆C(图1)易证弦的中点M落在圆C内的充要条件为弦长l故所求概率等于二圆面积之；(Ⅱ)设弦AB的一端固定于圆上于是弦的另一端B是“任意”的考虑正三角形ADE(图2)弦长l的充要条件为B落在劣弧上故所求概率为劣弧的弧长与圆周长之比有兴趣的同学可以翻阅相关资料并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？ 　()已知函数f(x)＝导函数为f′(x)．在区间[2]上任取一点x则使得f′(x)0的概率为____________．解：由已知得f′(x)＝故f′(x)00，解得0x故由几何概型可得所求事件的概率为＝－2.故填－2.类型二　以面积为度量的几何概型　(1)如图所示在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x)． ①求△APB的面积大于的概率；求点P到原点的距离小于1的概率．解：①如图取线段BC的中点E连接EF则当点P在线段EF上时＝故满足条件的点P所在的区域为矩形OFEC(阴影部分)． 故所求概率为＝所有的点P构成正方形区域D若点P到原点距离小于1 则所以符合条件的点P构成的区域是圆x＋y＝1在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)．∴点P到原点距离小于1的概率为：＝①以面积为度量的几何概型概率计算公式：＝解此类问题的主要步骤为：列出条件组画出图形计算面多注意数形结合．(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等候另一人一刻钟过时即可离去．则两人能会面的概率为____________． 解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间则两人能够会面的充要条件是在如图所示平面直角