核按钮2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3 二项式定理习题 理.doc

§10.3　二项式定理 1．二项式定理(a＋b)＝_______________(n∈N)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)的二项展开式共有_________项其中各项的系数__________(k∈{0)叫做二项式系数式中的____________叫做二项展开式的通项用T＋1表示即_____________．通项为展开式的第__________项．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二C＝，C＝，C＝，…，____________，…，C＝. (2)增减性与最大值二项式系数，当____________时二项式系数是递增的；当____________时二项式系数是递减的．当n是偶数时中间的一项____________取得最大值．当n是奇数________和_______相等且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)的展开式的各个二项式系数的和等于________即＋＋＋…＋＋…＋＝________.二项展开式中偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和即＋＋＋…＝C＋＋＋…＝________.自查自纠an＋an－1＋…＋an－k＋…＋bn　n＋1　an－k　T＋1＝an－k　k＋1(1)C＝　(2)k＜　k＞　n　n Cn　(3)2　2　2－1 ()二项式(x＋1)(n∈N＋)的展开式中x的系数为15则n＝(　　)解：由已知有＝15，∴＝15解得n＝6或－5(舍去)．故选 (1＋x)(n∈N*)的展开式中系数最大的项是(　　)第＋1项 ．第n项第n＋1项 ．第n项与第n＋1项解：展开式共2n＋1项且各项系数与相应的二项式系数相同．故选 ()已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等则奇数项的二项式系数和为(　　)解：∵(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等＝，得n＝10奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等即＋＋＋…＝＋＋＋…＝2－1二项式(1＋x)中奇数项的二项式系数和为2故选 ()的展开式中x的系数是______(用数字作答)．解：二项展开式通项为T＋1＝(x3)5－r＝x15－令15－＝8得r＝2故x的系数为＝故填 ()(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32则a＝________．解：(1＋x)＝1＋4x＋6x＋4x＋x(a＋x)(1＋x)x的奇数次幂项分别为4ax其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝8a＋8＝32得a＝3.故填3. 类型一　求特定项　(1)的展开式中各项系数的和为2则该展开式中的常数项为(　　)－40 ．－20 ．解：令x＝1可得a＋1＝2＝1的展开式中项的系数为22(－1)项的系数为23，∴(2x－)的展开式中常数项为22(－1)＋23＝40.故选①令x＝1可得所a的值后再分析常数项的构成便可解得常数项．(2)已知在的展开式中第6项为常数项求含x项的系数及展开式中所有的有理项．解：通项T＋1＝xx＝x， ∵第6项为常数项＝5时有＝0得n＝10.令＝2得r＝2含x项C＝根据通项公式令＝k∈则10－2r＝3k即r＝－应为偶数．∴k可取2－2.即r可取2第3项第6项与第9项为有理项它们分别为T＝x2＝＝＝－＝x－2＝①所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时先准确写出通项T＋1＝an－r再把系数与字母分离出来(注意符号)根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征列出方程或不等式来求解即可．②求有理项时要注意运用整除的性质同时应注意结合n的范围分析．　(1)()在 的展开式中的系数为____________．解：展开式的通项为Tr＋1＝x6－r＝x6－2r令6－2r＝2得r＝2所以T＝x2＝x所以x的系数为故填(2)()(x2＋x＋y)的展开式中的系数为(　　)解：在(x＋x＋y)的5个2个取x剩余的3个因式中1个取x其余因式取y故x的系数为CC＝30故选类型二　展开式的系数和问题　已知(1－2x)＝a＋a＋a＋…＋a求：(1)a＋a＋…＋a；2)a1＋a＋a＋a；(3)a0＋a＋a＋a；(4)＋＋＋…＋解：令x＝1则＋a＋a＋a＋a4＋a＋a＋a＝－1.①令x＝－1则－a＋a－a＋a－a＋a－a＝3(1)∵a0＝＝1＋a＋a＋…＋a＝－2.(2)(①－②)÷2得＋a＋a＋a＝＝－1094(3)(①＋②)÷2得＋a＋a＋a＝＝(4)∵(1－2x)的展开式中大于零而a小于零＋＋＋…＋＝(a0＋a＋a＋a)－(a＋a＋a＋a)， ∴所求即为④－③(亦即②)其值为2187.①“赋值法”普遍运用于恒等式是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)(ax2＋bx＋c)(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和只需令x＝1即