2024高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布5第5讲几何概型练习理含解析.doc

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第5讲几何概型

[基础题组练]

1．(2024·河北衡水联考)2024年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()

A.eq\f(363π,10)mm2 B.eq\f(363π,5)mm2

C.eq\f(726π,5)mm2 D.eq\f(363π,20)mm2

解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝eq\f(30,100)×π×112＝eq\f(363π,10)(mm2)．

2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()

A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)

C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)

解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故选A.

3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事务“sinx＋cosx≥eq\f(\r(2),2)”发生的概率为()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(7,12) D.eq\f(2,3)

解析：选C.由题意可得

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx≥\f(\r(2),2)，,0≤x≤π，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥\f(1,2)，,0≤x≤π，))

解得0≤x≤eq\f(7π,12)，故所求的概率为eq\f(\f(7π,12),π)＝eq\f(7,12).

4.(2024·湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()

A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,16)

C．1－eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,16)

解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝eq\f(82－8π,82)＝1－eq\f(π,8)，故选C.

5．(2024·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内随意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,π)

C.eq\f(2,π) D.eq\f(π,4)

解析：选A.y＝sin2x＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2x，

所以eq\i\in(0,π,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)cos2x))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(1,4)sin2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π,0))＝eq\f(π,2)，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内随意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).故选A.

6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM30°的概率为________．

解析：如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM30°)＝eq\f(∠CAM0的度数,∠CAB的度数)＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).

答案：eq\f(2,3)

7．(2024·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,4)b有零点的概率是________．

解析：函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,4)b有零点，则Δ＝a2－b≥0，