1、初等变换初等矩阵的概念.ppt

§3.1 、矩阵的初等变换 初等矩阵的性质： 小结 §3.2 、矩阵的秩 小结 思考题 思考题解答 印象 1. 一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。 2. 行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数. 2）初等变换不改变矩阵的秩． 1) 且r由A唯一确定; 【定理】若矩阵A与B等价,则R(A)=R(B) 注 问题:等价的两矩阵其秩是否一定相等? 例2 求矩阵A的秩，其中 解 由于A的行阶梯矩阵的非零行数为3，故R(A)=3. 3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩 一般方法： 1）将A用初等变换化为行阶梯矩阵； 2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。 若矩阵的秩等于矩阵A的行（列）数，则称A为行（列）满秩矩阵；若方阵A的秩等于A的阶数，则称矩阵A为满秩矩阵。因此有以下结论： 1)n阶方阶A的秩R（A）=n n方阵A可逆 2）由定理2.3知: 4. 满秩矩阵及有关结论 * 第三章 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm 1、矩阵的初等变换 引例 解方程组: 增广矩阵 解方程的三种变换: 1)互换两个方程的位置； 2)用一个非零数乘某一个方程； 3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去． 注：上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算. 【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换: (1)??对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为 ) (3) 把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素 上去 (第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为 ). 注 1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 2）矩阵的初等变换是可逆的，而且是同型的； 逆变换 逆变换 逆变换 (2)??以数 乘第i行(列)的所有元素(记为 ) 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B行等价，记做A~B。 等价矩阵 等价矩阵之间的性质 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B列等价，记做A~B。 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B等价，记做A~B。 形如: 的矩阵称为行阶梯矩阵. 特点 1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方； 2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到 下严格递增。 具有特点1）~3）的行阶梯矩阵称为行最简矩阵 3）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零。 一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵。 例1 用初等变换化简矩阵 矩阵A的标准型 注: 1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵； 3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型 。 行阶梯型 行最 简型 注意！！ 例2 设 解 例2 设 解 与A有什么关系呢 若把矩阵( A，E )的行最简形记作( E，X ) ，则 E 应是 A 的行最简形，即 ； 并可验证 AX = E，即 X = A-1. 下节我们将证明，对任何方阵 A ， 的充分必要条件是 A 可逆，且当 A 可逆时， E A r ~ E A r ~ 【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵. 如对三阶单位矩阵E施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为： E23= E3(k)= E12(k)= 初等矩阵分为三类, 分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k),其中 Eij : 交换单位矩阵E的第i，j行 , 得到的初等矩阵。 Ei(k)：单位矩阵E的第i行 的元素乘以数k, 得到的初等矩阵 。 Eij(k)：单位矩阵E的第j行 乘以数k加到第i行 , 得到的初等矩阵。 对单位阵经一次初等行变换与经一次列变换，得到的初等矩阵相同吗