第4章平面向量.数系的扩充复数的引入章末大盘点.ppt

? 一、数形结合思想 　　向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能.因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题的关键. ;【示例1】　已知向量a2＝b2＝1，且a·b＝ 求 (1)|a＋b|；(2)a与(b－a)的夹角. ;[解]　法一：(数形结合法) 作 以 为邻边作?ABCD，如图所示. 由a2＝b2＝1及a·b＝ 得 又∠BAD∈[0°，180°]，∴∠BAD＝120°. 所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为120°的菱形，易得 (1)|a＋b|＝ (2)a与(b－a)的夹角为150°. ;法二：(数量积运算法) 由于0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 所以a与(b－a)的夹角为150°. ;[领悟]　法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运算及其变形公式更是简洁明快. ;二、等价转化的思想 　　等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量的代数运算，无不体现了等价转化思想. ;【示例2】　已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P. 求证：(1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. ;[证明]　如图建立直角坐标系xAy，其中A为原点， 不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1). ＝(－2，－1)， ＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， 即BE⊥CF.;(2)设P(x，y)，则 ∴-X=-2(y-1)，即x=2y-2 同理由 得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. ;[领悟]　本题为平面几何问题，证明过程中以直角坐标系为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明.显然，向量共线与向量垂直的坐标运算，运用得既巧妙而又必不可少，突出重点的同时更突破了难点. ;三、函数与方程的思想 　　向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的.例如，向量a，b的坐标中含有参数t时，计算a·b时，即把a·b视为关于t的函数；解决共线向量时，则常常借助b＝λa来确定λ，求λ的方法即利用向量相等的充要条件列出方程(组)来求解. ;【示例3】　已知a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝ (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　. ;[解析]　设向量a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－3，y＋1)，由题意可知 ;[领悟]　利用方程的思想解决问题时关键是寻找等量关系，建立方程. ;1.(2009·辽宁高考)已知复数z＝1－2i，那么 ＝(　　) ;2.(2009·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d ＝a－b.如果c∥d，那么 (　　) A.k＝1且c与d同向 B.k＝1且c与d反向 C.k＝－1且c与d同向 D.k＝－1且c与d反向 ;解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1). 依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)， ∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1， 又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向. ;3.(2009·湖北高考)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为 (　　) ;解析：∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m，n均为正整数，∴m＝n.故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以 ;4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b＝c，则〈a，b〉＝