高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入.doc
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法那么(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法那么
平行四边形法那么
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法那么
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易无视“a≠0”，否那么λ
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[试一试]
1．假设向量a与b不相等，那么a与b一定()
A．有不相等的模 B．不共线
C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
答案：C
2．假设菱形ABCD的边长为2，那么|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
1．向量的中线公式
假设P为线段AB的中点，O为平面内一点，那么＝eq\f(1,2)(＋)．
2．三点共线等价关系
A，P，B三点共线?＝λ(λ≠0)?＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)?＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[练一练]
1．D是△ABC的边AB上的中点，那么向量等于()
A．－＋eq\f(1,2) B．－－eq\f(1,2)
C．－eq\f(1,2) D．＋eq\f(1,2)
答案：A
2．a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，那么λ
解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
答案：－eq\f(1,3)
考点一
向量的有关概念
1.给出以下命题：
①假设|a|＝|b|，那么a＝b；
②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③假设a＝b，b＝c，那么a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤假设a∥b，b∥c，那么a∥c.
其中正确命题的序号是()
A．②③B．①②
C．③④ D．④⑤
解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，假设四边形ABCD为平行四边形，
那么∥且||＝||，因此，＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③.应选A.
2．设a0为单位向量，①假设a为平面内的某个向量，那么a＝|a|a0；②假设a与a0平行，那么a＝|a|a0；③假设a与a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；假设a与a0平行，那么a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[类题通法]
平面向量中常用的几个结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它