第五章_大数定律与中心极限定理.ppt

§1 大数定律 广东工业大学 广东工业大学 广东工业大学 第五章 大数定律与中心极限定理 §1 大数定理 §2 中心极限定理 一、问题的提出 1、频率的稳定性 2、算术平均值的稳定性 二、依概率收敛 设 是一个随机变量序列，a 是一个常数。 若对任意 ，有 或 则称随机变量序列 依概率收敛于a。记为 1、定义 2、依概率收敛的性质 设 ，且 在点 连续，则 1、切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量 相互独立，且具有相同的 数学期望和方差： 记 则对任意 有 或 三、大数定律 2、伯努利大数定律 （2）设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，且每次试验 或 相互独立且都服从参数为p的 分布，则对任意 （1）设随机变量 都有 或 都有 中A发生的概率为 则对任意 §2 中心极限定理 1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理） 独立同分布，且具有数学期 设随机变量 望和方差： 记 的分布函数为 ， 则对任意实数x，有 1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理） ~ 近似地 即，n 充分大时，有 ~ 近似地 可化为 记 ~ 近似地 则有 1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理） ~ 近似地 即，n 充分大时，有 记 ~ 近似地 则有 或 ~ 近似地 大样本统计推断的基础 应用举例 例1 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们 是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布。 记 ，求 的近似值。 例2 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值为100g，标准差是10g，求一盒螺丝钉的重量起过 10.2kg的概率。 例3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.其中 。 棣莫弗-拉 普拉斯中心 极限定理 林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理） 独立同分布，且具有数学期 设随机变量 望和方差： 记 ~ 近似地 考虑特殊情况: 均服从参数为p的0-1分布 于是有 ~ 近似地 相互独立,均服从参数为p的 设随机变量 0-1分布，则对任意实数 x，有 2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理 即，n 充分大时，有 ~ 近似地 ~ 2、棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布） ~ 近似地 即，n 充分大时，有 设随机变量 服从参数为n，p的二项分布， 则对任意 实数x，恒有 或 ~ 近似地 意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。 （2）对任意非负整数 意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。 具体用法: 设 应用举例 例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于 的概率是多少? 解： 在90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为X， 则有 于是，所求概率为 例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于 的概率是多少? 例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于 的概率是多少? 解： 在90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为X， 则有 于是，所求概率为 （利用中心极限定理） 拉普拉斯中 心极限定理 * *