第五章 大数定律和中心极限定理(简介).ppt

* 第五章 大数定律和中心极限定理(简介) 第一节 大数定律 定义5.1 (依概率收敛)（教材p145） 设 是一个随机变量序列，?是随机变量或常数。若对任何 ?0，都有 就称 依概率收敛于?，记为 。 P 定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛) 若P( )=1，则称 以概率1收敛于?，或称 几乎处处收敛于?，记为 。 a.s. P P 定理5.1 设 g(x，y)在(a，b)处连续，则 P 定义5.3(依分布收敛) 设 和?的分布函数分别为 和F(x)，若 则称 弱收敛于F(x)，记为 。 称 依分布收敛于?，记为 。 W L 定理5.2 (几种收敛之间的关系) 若 ，则 。 设?为常数，则 当且仅当 。 3. 若 ，则 。 P L a.s. P P L 定义5.4 (独立随机变量序列) 设 是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随机变量 都相互独立，则称 为独立随机变量序列(简称 相互独立)。 定理5.3 (切比雪夫大数定律)（教材p144） 设 相互独立，且 令 P 定理5.4 (辛钦大数定律)（教材p147） 设 相互独立，且服从相同分布， 令 P 说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。 2. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。 定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146） 设A在n重贝努利试验中发生 次，p=P(A)，则对任何?0，有 说明：贝努利大数定律是说，当n很大时， 故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。 例1(2003年数学三考研试题填空题) 设总体X服从参数为2的指数分布， 为来自总体X的简单随机样本，则当n??时， 依概率收敛于 。 第二节 中心极限定理 定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg) ( 独立同分布中心极限定理) （教材p147） 设随机变量 相互独立且服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： 则随机变量 即 的分布函数 对任何x满足 L *