[经管类概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理.docx

　　概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。　　5.1　切比雪夫Chebyshev不等式　　一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。定理5－1（切比雪夫不等式）设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε0，有: 　　或：　　　［例5-1］设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2,2.5，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。　　【答疑编号对该题提问】　　解 X的分布律为　　　　所以　　　　　　　　　　　　当ε=2时，　　当ε=2.5时，　　可见，切比雪夫不等式成立。　　[例5-2]设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。　　【答疑编号对该题提问】　　解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有　　E（X）=np=10 000×0.7=7 000,　　D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100,　　P{6 800X7 200}=P{|X-7000|200}≥1-　　可见，虽然有10 000盏灯，但是只要有供应7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。　　[例5-3补充] 用切比雪夫不等式估计　　【答疑编号对该题提问】　　解：　　可见，随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差的三倍的可能性极小。　　5.2　大数定律　　在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。　　5.2.1　贝努利大数定律定理5-2 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数ε，有（不证）　　贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件A时，事件A的概率是A的频率的稳定值。　　　　5.2.2　独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律　　先介绍独立同分布随机变量序列的概念。　　称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的，若对任意的n1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时，若所有的Xi又具有相同的分布，则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。定理5-3　设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，则对于任意ε0有（不证）　　这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。　　5.3 中心极限定理　　5.3.1独立同分布序列的中心极限定理定理5-4 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。　　由这一定理知道下列结论：　　（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。　不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。　　（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有　　　　它的标准化随机变量为，即为上述Yn。因此的分布函数即是上述的Fn（x），因而有　　由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布　[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。　　【答疑编号对该题提问】　　解设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相