§3.3 球谐函数.pdf

§3.3 球谐函数 一、球谐函数的推导 由球函数方程及其自然边界条件 ⎧ ( ) 2 ( ) 1 ∂ ⎛ ∂Y θ,ϕ ⎞ 1 ∂ Y θ,ϕ ( ) ( ) sinθ l l 1 Y θ,ϕ 0 ⎪ ⎜ ⎟+ 2 2 + + ⎪⎪sinθ θ∂ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ϕ∂ ( ) ( ) ( ) （1） Y θ,ϕ ϕ ϕ 2π ⎨ 单值（即Φ Φ + ） ⎪ ( ) ⎪Y θ,ϕ 有限 ⎪⎩ 1、实数形式的球谐函数： m ( ) m ( )( ) ( ) Y θ,ϕ P cosθ C cos mϕ+D sin mϕ , l 0,1,2,L;m 0,1,2,L,l （2 ） l l m m 2 、复数形式的球谐函数： 本征函数 ( ) Φ ϕ A cos mϕ+B sin mϕ ，本征值m 0,1,2 Ll m m m 由欧拉公式 imϕ −imϕ imϕ −imϕ e +e e −e cos mϕ sin mϕ 2 2i imϕ −imϕ imϕ −imϕ Φ ( ) A e +e +B e −e m ϕ m m 2 2i 1 (Am −iBm )eimϕ + 1 (Am +iBm )e−imϕ 2 2 imϕ ± ± Cm e m 0, 1, 2 L 即 ( ) imϕ Φ ϕ C e m 0,±1,±2 L,±l （3 ） m m 所以，复数形式的球谐函数可写为： m ( ) m ( ) imϕ ( ) Y θ,ϕ P cosθ e , l 0,1,2,L;m 0,±1,±2,L （4 ） l l ( ) + ! 2 l m m ( ) N m imϕ 另外，由于P