球谐函数的性质.doc

目录 一般背景及注示 正交变换 加法定理 表示定理 加法定理的应用 Rodrigues公式 Funk-Hecke公式 球谐函数的积分表示 连带勒让德函数 勒让德函数的性质 微分方程 球谐函数的拓展 参考文献 基本背景和记号： 令是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有 。 表达式 这里 1) 表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为，它的曲面元素为，其全部曲面为，是由表示出来的。 由定义我们设，接着我们有。 如果向量可以构成一个正交系，我们可以用 1 来表示上的点,而是由张成的空间的单位向量。 这时单位球面上的曲线元素可以写成 我们由上面可以得到 上面积分式子的右边可以转化为 ，当q=2,3,…。 2 记 3 为拉普拉斯算子，这时我们引入 定义1:令为q维的n次齐次多项式，同时满足 这时称为q维的n次（规则）球面调和函数。 由此我们马上可以得到： 引理1: 令和是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到 ， 同样地，在上和的法向导数分别为 因此由定义（1）我们可以得到 引理2:对于m≠n时，有，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替 （4） 其中是在点的阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式 得到 （5） 由系数相等我们的得到：，因此，若已知和，则所有的多项式都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与和的系数的数量相等。定义为关于的阶齐次多项式的系数的个数，则有如下形式： （6） 显然，因此，和的系数的数量满足: (7) 幂级数 （8） 当时收敛。由（6）和（7）得： （9） 现在由（7）得： ， 因此，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: ，所以。 由此我们得到以下引理： 引理3 n阶线性无关的球面调和函数的数量由以下幂级数 决定，特别地当时有 （10） 。 由引理3我们可以很精确地得到，当时，由二项式展开可得 因此 （11） 如果我们设 （12） 我们得到 引理4：在维空间存在的线性无关次数为的球谐而且每个无关次数为的球谐可以被看成的一个线性组合。 正交变换： 现在假设函数构成一个正交集，即 （13） 如果是一个正交矩阵，而是一个次数为的球谐多项式，在上如果具有这种属性，以至于是一个次球谐波。特别地， （14） 因此，对于每一个正交矩阵对应于一个矩阵，根据（13）和（14）我们得到： （15） 正交变换可以视为中的一个坐标变换，它离开表面元素不变，这就意味着 现在我们由（15）可得 （16） 因此系数是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到 （17） 对于中的任意两点和我们可得方程 由于（17）对于任意的正交矩阵A 因此方程具有重要的性质就是对和同时进行正交变换方程不变. 用下面的正交变换的性质进一步去研究方程： 对每个单位向量存在一个正交变换满足. 对任意两个向量和有 对任意的单位向量存在正交变换群的一个子群，使固定不变 把这些向量转化成已给的单位向量即 勒让德函数： 我现在使用这些属性去研究我们的函数。从形式（a）中我们将转换为。然后通过（2）式，将被表示为下列形式： （18） 通过（b）式，在进行