2019届高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法及其应用学案 理 北师大版.doc

§13.3　数学归纳法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式．在高考中以解答题形式出现，属高档题. 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 题组二　教材改编 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3. 3．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝______，a3＝______，a4＝______，猜想an＝______. 答案　3　4　5　n＋1 题组三　易错自纠 4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 解析　当n＝1时，n＋1＝2， ∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2. 5．对于不等式n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k＋1，则当n＝k＋1时，＝＝＝(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________． 答案　2k 解析　运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)． 当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N＋)，左边表示的为2k项的和． 当n＝k＋1时，则 左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项. 题型一　用数学归纳法证明等式 1．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝ (n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k (k∈N＋且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋等式恒成立． 2．(2018·朝阳模拟)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)． 证明　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2)＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论成立． 由(1)(2)可知当n≥2，n∈N＋时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；