六年级奥数专题十六：找规律.doc

六年级奥数专题十六:找规律 关键词： HYPERLINK /search/search_title.php?word=%CB%C4%B1%DF 四边 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%C8%FD%BD%C7 三角 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%CE%E5%B1%DF%D0%CE 五边形 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%C4%DA%BD%C7 内角 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%B9%E6%C2%C9 规律 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%C1%F9%B1%DF%D0%CE 六边形 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%CB%C4%B1%DF%D0%CE 四边形 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%B0%C2%CA%FD 奥数 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%C8%FD%BD%C7%D0%CE 三角形 HYPERLINK /search/search_title.php?word=%B5%C8%D3%DA 等于 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 　　例1 求99边形的内角和。 　　分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形……的内角和，找一找其中的规律。 　　 　　如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2= 360°；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°×3＝540°；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°×4＝720°。 　　通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式： 　　n边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。 　　有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。 　　99边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。 　　例2 四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 　　分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。 　　 　　类似地，每增加一个点增加2个三角形。 　　所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）。 　　如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形 　　4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。 　　同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。 如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱…… 　　例3 n棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么n棱柱共有多少对不相交的棱？ 　　分析与解：n棱柱的底面和顶面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以n棱柱共有2n个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2个顶点，所以n棱柱共有棱 2n×3÷2=3n（条）。 　　进一步观察可以发现，n棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的3n－4-1 =（3n－5）条棱不相交。共有3n条棱，所以不相交的棱有 3n×（3n- 5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 　　3n×（3n-5）÷2（对）。 　　例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？ 　　分析与解：4条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1块；1条直线将圆分为2块，即增加了1块；2条直线时，当2条直线不相交时，增加了1块，当2条直线相交时，增加了2块。由此看出，要想分成的块尽量多，