专题4有关圆锥曲线轨迹方程的求法.ppt

* 曲线与方程 学习如几何曲线 幸福似小数循环. 教学目标： 1、知识与能力:会求各种曲线的方程 2、过程与方法:会用直接法、相关点法、定义法求曲线的方程 3、情感态度与价值观：培养合作探讨、勇于创新的精神，渗透事物之间等价转化的辩证唯物主义观点 重点：会用相关点法求曲线的轨迹方程 难点：灵活运用各种方法求轨迹方程 典例分析 题型一 直接法求曲线方程 【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 求动点P的轨迹方程C. 学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法. 分析 设P点坐标为（x,y），再表示出Q点， , ， ， 的坐标，直接代入满足 的条件求P点轨迹方程. 解：设动点P(x,y)，则Q(-1,y). 由 ，得（x+1,0）· (2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C： 举一反三 1. 已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程. 解析: 设P(x,y),则 (1)当x≤3时，方程变为 ,即 . 化简，得 (2)当x＞3时，方程变为 ,即 化简,得 故所求的点P的轨迹方程是 ,0≤x≤3, ,3＜x≤4. 题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程 【例2】已知圆 : 和圆 ： 动圆M同时与圆 及圆 相外切.求动圆圆心M的轨迹方程. 分析 设圆 半径 ,圆 半径 ,动圆M半径R,则由两圆外切性得 , ∴ (定值)＞0， 故可考虑用双曲线定义求轨迹. 解 设动圆M与圆 及圆 分别外切于点A和点B， 根据两圆外切的充要条件，得 , ∵MA=MB,∴ 即 这表明动点M到两定点 、 的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 的距离大，到 的距离小）， 其中a=1,c=3,则 .设点M的坐标为（x,y）, 则其轨迹方程为 (x≤1). 学后反思 解决本题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a,b时，则直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方法称为定义法. 举一反三 2.如图，已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切于点C，且AC-BC= .过点A、B分别作圆O′的切线，两切线相交于P，且P、O′均在AB同侧. 建立适当坐标系，当O′位置变化时， 求动点P的轨迹E的方程. 解析: 以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC= 4. 根据双曲线的定义，动点P的轨迹为双曲线的右支且a=2,c=2,则 所以轨迹E的方程为 (x2). 题型三 用相关点法求轨迹方程 【例3】已知长为 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且 求点P的轨迹方程. 分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 ,得P点的坐标可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|= ,故可求得A、B坐标满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可得到P点的轨迹方程. 解设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因为 又 , 所以 , 即 , 因为AB= ，即 所以 化简得 ,故点P的轨迹方程为 ….. 学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称